2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修1

2．2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法第二章推理与证明1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．第二章推理与证明综合法和分析法综合法分析法定义利用_________和某些数学_____、_____、____等，经过一系列的_________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从_______的结论出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、_____、______、_____等)，这种证明方法叫做分析法已知条件定义定理公理推理论证要证明充分条件定理定义公理综合法分析法框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(Q表示要证明的结论)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法1.综合法的特点(1)综合法是从原因推导出结果的思维方式，从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其由因导果逐步推理的过程，实际上是寻找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理等，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明．(3)用综合法证明题目，证明步骤严谨、逐层递进、步步为营、条理清晰、形式简洁、易于表达推理的思维过程．2.分析法的特点(1)分析法的特点从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其推理过程是一步步寻求使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定理、定义、公理等．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法就是从结论推向已知．()(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．()答案：(1)×(2)×(3)√已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2＋b2－c2＝ab，则角C的值为()A.π3B.π6C.π4D.π2答案：A要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.（a＋b）22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：选D.因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇐(a2－1)(b2－1)≥0，所以由分析法知选D.若0a1，0b1，且a≠b，则在a＋b，2ab，a2＋b2和2ab中最大的是____________．解析：已知a＋b2ab，a2＋b22ab，又a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)0，所以a＋b最大．答案：a＋b探究点1综合法的应用已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n＝1，2，3，…)．证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【证明】(1)因为当n≥2时，an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以Sn＋1n＋1＝2·Snn.又当n＝1时，S1＝a1＝1，a2＝1＋21·S1＝3，故S2＝1＋3＝4，也满足Sn＋1n＋1＝2·Snn.所以数列Snn是以2为公比的等比数列．(2)由(1)知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1，且an＝n＋1n－1Sn－1(n≥2)，于是Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4an(n≥2)．又a1＝1，S2＝4＝4a1，适合上式．因此对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.综合法证明问题的步骤1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.因为AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.因为AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.2．已知a0，b0，且a＋b＝1，求证：4a＋1b≥9.证明：因为a0，b0，a＋b＝1，所以4a＋1b＝4（a＋b）a＋a＋bb＝4＋4ba＋ab＋1＝5＋4ba＋ab≥5＋24ba·ab＝5＋4＝9.当且仅当4ba＝ab，即a＝2b＝23时“＝”成立．探究点2分析法的应用已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角．【证明】要证B为锐角，根据余弦定理，只需证cosB＝a2＋c2－b22ac＞0，即证a2＋c2－b2＞0.由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，要证a2＋c2－b2＞0，只需证2ac－b2＞0.因为a，b，c的倒数成等差数列，所以1a＋1c＝2b，即2ac＝b(a＋c)．要证2ac－b2＞0，只需证b(a＋c)－b2＞0，即证b(a＋c－b)＞0，上述不等式显然成立，所以B为锐角．分析法证明数学问题的方法已知a，b，c是正实数，求证：a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3.证明：要证a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3，只需证a2＋b2＋c23≥a＋b＋c32，只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，即证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，即证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，所以a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3成立．探究点3综合法和分析法的综合应用△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.【证明】法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1.只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2，此式即分析中欲证之等式，所以原式得证．法二：因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，得c2＋a2＝ac＋b2，两边同时加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得ca＋b＋ab＋c＝1，所以ca＋b＋1＋ab＋c＋1＝3，所以1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用．1.已知sinα＋cosα＝1，求证：sin6α＋cos6α＝1.证明：因为sin6α＋cos6α＝(sin2α)3＋(cos2α)3＝(sin2α＋cos2α)(sin4α－sin2αcos2α＋cos4α)＝sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4α－3sin2αcos2α＝(sin2α＋cos2α)2－3sin2αcos2α＝1－3sin2αcos2α，所以要证sin6α＋cos6α＝1，只需证sin2αcos2α＝0.将sinα＋cosα＝1两边平方，得2sinαcosα＝0，所以sin2αcos2α＝0，所以sin6α＋cos6α＝1.2．在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．证明：由已知得2a＝x＋y，b2＝cx，c2＝by，所以x＝b2c，y＝c2b，即x＋y＝b2c＋c2b，从而2a＝b2c＋c2b.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥（b＋1）（c＋1）成立．只需证a＋1≥（b＋1）＋（c＋1）2即可．也就是证2a≥b＋c.而2a＝b2c＋c2b，则只需证b2c＋c2b≥b＋c成立即可，即证b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0成立，上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．1．用分析法证明：欲使①AB，只需②CD.这里①是②的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B.2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥4B．(a＋b＋c)2≥3C．a2＋b2＋c2≥3D．(a＋b＋c)2≥4解析：选B.因为a，b，c∈R，所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝b＝c时，等号同时成立．所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．3．设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：ax＋cy＝2.证明：由题知c＝b2a，x＝a＋b2，y＝b＋c2，则ax＋cy＝aa＋b2＋cb＋c2＝2aa＋b＋2cb＋c＝2aa＋b＋2×b2ab＋b2a＝2aa＋b＋2ba＋b＝2，即ax＋cy＝2.4．在锐角三角形ABC中，求证：tanAtanB1.证明：因为A，B均为锐角，所以cosA0，cosB0.要证tanAtanB1，只需证sinAsinBcosAcosB1，只需证sinAsinBcosAcosB，即证cosAcosB－sinAsinB0，只需证cos(A＋B)0.因为△ABC为锐角三角形，所以90°A＋B180°，所以cos(A＋B)0，所以tanAtanB1.知识结构深化拓展分析法与综合法的关系分析法与综合法的关系可表示为下图：从图中可以看出，逆向书写分析过程，同样可以完成证明，这就是综合法.由此使我们想到，用分析法探路，用综合法书写，也是一种很好的思维方式.