2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法课

2.2.2反证法课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．反证法是的一种基本方法．假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．□01间接证明□02不成立□03矛盾□04错误课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．□05不成立□06假设课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与矛盾等．□07已知条件□08假设□09定义、定理、公理、事实课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练反证法中的“反设”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()√×√课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一解，适宜用________证明．(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是________．(3)用反证法证明命题“如果ab，则3a3b”时，假设的内容是______．答案(1)反证法(2)a，b都不能被5整除(3)3a≤3b答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1用反证法证明否定性命题例1已知f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．[证明]假设x0是f(x)＝0的负数根，则x00，x0≠－1且ax0＝－x0－2x0＋1，由0ax01可知0－x0－2x0＋11，解得12x02，这与x00矛盾，故假设不成立．即方程f(x)＝0没有负数根．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.所以2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0.所以(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练所以a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0，所以a＝b＝c＝d＝0，所以ad－bc＝0，这与ab－bc＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2用反证法证明“至多”“至少”型命题例2已知a，b，c是互不相等且均不为0的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．[证明]假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升常见结论词与反设词列表如下：课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】求证下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时实数a的取值范围为aa≥－1或a≤－32.证明若方程没有一个有实根，则16a2－43－4a0，a－12－4a20，4a2＋8a0.解得－32a－1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是aa≥－1或a≤－32.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3用反证法证明唯一性命题例3用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b，这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a，b，m有且只有一个平面．证明∵如图，a∥b，∴过a，b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a，b，m有一个平面α.假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确否定上述结论.2.反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.3.在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°解析“至少有一个不大于”的否定为“都大于”，所以选B.解析答案B答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．如果两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数解析假设两个数都不是正数，则其和必为负数或零．所以选C.解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________．解析方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解．解析答案无解或至少两解答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．解析假设两个一元二次方程均无实根，则有Δ1＝a－12－4a20，Δ2＝2a2－4－2a0，即3a2＋2a－10，a2＋2a0，解得a的取值集合为：{a|－2a－1}，所以其补集为{a|a≤－2或a≥－1}，即为所求的a的取值范围．解析答案{a|a≤－2或a≥－1}答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c，求证：2b＝1a＋1c不成立．证明假设2b＝1a＋1c成立，则2b＝a＋cac＝2bac.故b2＝ac.又b＝a＋c2，所以a＋c22＝ac，即(a－c)2＝0，所以a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾，因此2b＝1a＋1c不成立．答案