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课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数答案B答案解析用反证法证明命题时，“a，b，c中至少有一个是偶数”的反设为假设a，b，c都不是偶数．故选B.解析2．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都大于2B．至少有一个不大于2C．都小于2D．至少有一个不小于2答案D答案解析假设a＋1b，b＋1c，c＋1a三个数都小于2，则必有a＋1b＋b＋1c＋c＋1a6，而a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2a·1a＋2b·1b＋2c·1c＝6，故二者相矛盾，所以假设不成立．解析3．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案D答案解析“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．解析4．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R0”是“P，Q，R同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C答案解析必要性显然成立．充分性：若P·Q·R0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负的一个正的，不妨设P0，Q0，R0.∵P0，Q0，即a＋bc，b＋ca，∴a＋b＋b＋cc＋a，∴b0，这与a，b，c都是正数矛盾．故P，Q，R同时大于零．解析5．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案A答案解析假如甲：我没有偷，是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一个人说真话矛盾；假如甲：我没有偷，是假的，即丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立，所以A正确．解析6．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在“好点”，那么a的取值范围是()A.－12，32B.－32，12C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案A答案解析假设函数f(x)存在“好点”，即x2＋2ax＋1＝x有解，∴x2＋(2a－1)x＋1＝0.∴Δ＝(2a－1)2－4≥0，解之，得a≤－12或a≥32.∴f(x)不存在“好点”时，a∈－12，32.故选A.解析二、填空题7．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b0，则f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，则a＋b0.其中真命题是________(填序号)．答案①②③④答案解析易知①③均为真命题；②用反证法：假设a＋b0，则a－b，b－a，所以f(a)f(－b)，f(b)f(－a)，所以f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾，所以a＋b≥0，所以②为真命题；④类似于②用反证法也可得出是真命题．解析8．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为________．答案a，b都不能被3整除答案解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”或“都不是”．解析9．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)||x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|12，那么他的反设应该是________．答案∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)||x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥12答案解析根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)剥离出来作为已知条件．解析三、解答题10．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．答案B级：能力提升练11．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.证明假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于14.因为a，b，c∈(0,1)，所以1－a0,1－b0,1－c0.所以1－a＋b2≥1－ab14＝12.同理1－b＋c212，1－c＋a212.答案三式相加得1－a＋b2＋1－b＋c2＋1－c＋a232，即3232，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.答案12．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解(1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．答案(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0.∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，与p≠r矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．答案