2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a，a≤b，b，ab，a∨b＝b，a≤b，a，ab.若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则()A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∨b≥2，c∧d≤2C．a∧b≥2，c∨d≥2D．a∨b≥2，c∨d≥2答案B答案解析∵a∧b＝a，a≤b，b，ab，a∨b＝b，a≤b，a，ab，正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，∴不妨令a＝1，b＝4，则a∧b≥2错误，故可排除A，C，再令c＝1，d＝1满足c＋d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D，选B.解析2．已知a，b为非零实数，则使不等式：ab＋ba≤－2成立的一个充分而不必要条件是()A．a·b0B．a·b0C．a0，b0D．a0，b0答案C答案解析∵ab与ba同号，由ab＋ba≤－2知ab0，ba0，即ab0.∴ab＋ba＝－－ab＋－ba≤－2－ab·－ba＝－2.∴ab0是ab＋ba≤－2的充要条件．∴a0，b0是ab＋ba≤－2成立的一个充分而不必要条件．故选C.解析3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．PQB．P＝QC．PQD．由a的取值确定答案C答案解析假设PQ，要证PQ，只要证P2Q2，只要证：2a＋7＋2aa＋72a＋7＋2a＋3a＋4，只要证：a2＋7aa2＋7a＋12，只要证：012，因为012成立，所以PQ，即假设成立．解析4．设a0，b0，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是()A．aabbabbaB．aabb≥abbaC．aabbabbaD．aabb≤abba答案A答案解析aabbabba＝aa－bbb－a＝aba－b.①当ab0时，ab1，a－b0，aba－b1，所以aabbabba.②当ba0时，0ab1，a－b0，则aba－b1，所以aabbabba.综合①②可知，总有aabbabba.解析5．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B答案解析若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．解析6．设f(x)＝x3＋bx＋c在[－1,1]上是增函数，且f－12·f120，则方程f(x)＝0在[－1,1]内()A．可能有3个实根B．可能有2个实根C．有唯一实根D．没有实根答案C答案解析由于f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f－12·f120，所以f(x)在－12，12上有唯一零点，即f(x)＝0在－12，12上有唯一实根，从而在[－1,1]上有唯一实根．解析二、填空题7．用分析法证明不等式n＋n＋42n＋2(n0)时，最后推得的显然成立的最简不等式是________．答案04答案解析要证明n＋n＋42n＋2(n0)，只要证明n＋n＋4＋2nn＋44(n＋2)，只要证明nn＋4n＋2，只要证明n2＋4nn2＋4n＋4，只要证明04.解析8．设e1，e2是两个不共线向量，则向量e1＋λe2(λ∈R)与向量2e1－e2共线的充要条件是________．答案λ＝－12答案解析依题意得e1＋λe2＝k(2e1－e2)，整理得(2k－1)e1＋(－λ－k)e2＝0.由于e1与e2不共线，则必有2k－1＝0且－λ－k＝0，解得k＝12，λ＝－k＝－12.若λ＝－12，则e1＋λe2＝e1－12e2＝122e1－e2，即e1＋λe2与2e1－e2共线，故λ＝－12为所求．解析9．一个矩形的周长为l，面积为S，给出：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④3，12，其中可作为(l，S)取得的实数对的序号是________．答案①④答案解析设矩形的长、宽分别为a，b，则a＋b＝l2，S＝ab，因为a＋b≥2ab，所以l2≥2S，所以l2≥16S.因为四组实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④3，12，所以代入验证，可知可作为(l，S)取得的实数对的序号是①④.解析三、解答题10．已知n∈N*，且n≥2，求证：1nn－n－1.证明要证1nn－n－1，即证1n－nn－1，只需证nn－1n－1，因为n≥2，所以只需证n(n－1)(n－1)2，只需证nn－1，只需证0－1，0－1显然成立，故原结论成立．答案B级：能力提升练11．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别是角A，B，C的对边．求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.证明要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1，即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2.命题得证．答案12．如图，A是△BCD所在平面外一点，∠ABD＝∠ACD＝90°，AB＝AC，E是BC的中点．求证：(1)AD⊥BC；(2)△AED是钝角三角形．证明(1)∵AB＝AC，E是BC的中点，∴BC⊥AE.∵在△ABD和△ACD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴BD＝DC.∵E是BC的中点，∴BC⊥ED.∵BC⊥AE，AE∩ED＝E，∴BC⊥平面AED.∵AD⊂平面ADE，∴AD⊥BC.答案(2)∵AE2＝AB2－14BC2，ED2＝BD2－14BC2，AD2＝AB2＋BD2，∴cos∠AED＝AE2＋ED2－AD22AE·ED＝－BC24AE·ED0.∴∠AED是钝角，故△AED是钝角三角形．答案