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2．1.2演绎推理一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P78～P81的内容，回答下列问题．阅读教材P78中的5个推理(如下所示)，并回答问题：①所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；②太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；③一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；④三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，因此tanα是周期函数；⑤两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.(1)以上五个推理有什么共同特点？提示：都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．(2)以上五个推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名称是什么？提示：第一段称为“大前提”，第二段称为“小前提”，第三段称为“结论”．二、归纳总结·核心必记1．演绎推理的概念从的原理出发，推出某个下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由到的推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的；(2)小前提——所研究的；(3)结论——根据，对作出的判断．一般性特殊情况一般特殊一般原理特殊情况一般原理特殊情况“三段论”可以表示为：大前提：.小前提：.结论：.M是PS是MS是P三、综合迁移·深化思维(1)“三段论”就是演绎推理吗？提示：不是．三段论是演绎推理的一般模式．(2)演绎推理的结论一定正确吗？提示：因为演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．(3)如何在演绎推理中分清大前提、小前提和结论？提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．探究点一用三段论表示演绎推理[思考探究]如何将演绎推理写成三段论的形式？名师指津：三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提．[典例精析]将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．[解](1)因为平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)所以菱形的对角线互相平分．(结论)(2)因为等腰三角形的两底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的底角，(小前提)所以∠A＝∠B.(结论)(3)因为数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)所以通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．(结论)[类题通法]将演绎推理写成三段论的方法(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时也可大前提与小前提都省略．(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[针对训练]1．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)0.3·是有理数；(3)y＝cosx是周期函数．解：(1)因为矩形的对角线相等，(大前提)正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等．(结论)(2)因为所有的循环小数是有理数，(大前提)0.3·是循环小数，(小前提)所以0.3·是有理数．(结论)(3)因为三角函数是周期函数，(大前提)y＝cosx是三角函数，(小前提)所以y＝cosx是周期函数．(结论)探究点二用三段论证明几何问题[典例精析]如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[解]因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论[类题通法](1)用“三段论”证明命题的格式××××××大前提××××××小前提××××××结论(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．[针对训练]2．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.证明：三角形的中位线平行于第三边，大前提点E、F分别是AB、AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则此直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提EF∥平面BCD.结论探究点三用三段论证明代数问题[典例精析]已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．[解]对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在该区间上是增函数．大前提设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋x1－2x1＋1－ax2－x2－2x2＋1＝ax1－ax2＋x1－2x1＋1－x2－2x2＋1＝ax1－ax2＋3x1－x2x1＋1x2＋1，∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.又∵x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．小前提∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．结论[类题通法]使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．[针对训练]3．已知等差数列{an}的各项均为正数且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn＝1a2n(n＝1,2,3，…)．求证：数列{bn}为等比数列．证明：因为lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2＝lga1＋lga4，即a22＝a1a4.设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d＝0，数列{an}为常数列，故数列{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数、公比为1的等比数列．②若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，所以bn＝1a2n＝12nd.所以当n≥2时，bnbn－1＝12nd12n－1d＝12.所以数列{bn}是以12d为首项、12为公比的等比数列．综上，数列{bn}为等比数列．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是三段论，难点是用三段论证明有关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)用三段论表示演绎推理，见探究点一；(2)用三段论证明几何、代数问题，见探究点二和探究点三．3．在数学问题的证明题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提，将一般性原理应用于特殊情况，只要推理形式准确，就能恰当准确地解决问题．在解决问题时，会涉及到数学中的一般性原理，主要是指数学中的公式、公理、定理、性质等，这就要求我们基础牢固，对涉及的相关知识能灵活应用，并能进行恰当的等价转化．