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2．1.2演绎推理第二章推理与证明1.理解演绎推理的意义．2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．第二章推理与证明1．演绎推理含义从一般性的原理出发，推出__________________的结论的推理特点由一般到特殊的推理2．三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P某个特殊情况下1.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．2．对“三段论”的三点说明(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．(2)若集合M的所有元素都具有性质P，S是M中的一个子集，那么S中的元素也具有性质P；若M中的元素都不具有性质P，则S中的元素也不具有性质P.(3)从以上两点可以看出：三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式是否正确．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．()(2)演绎推理的结论一定是正确的．()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()(4)演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论解析：选C.这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是()A．矩形都是四边形B．四边形的对角线都相等C．矩形的对角线相等D．对角线都相等的四边形是矩形解析：选C.该推理是省略大前提的演绎推理，因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义，即a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.答案：log2x－2≥0探究点1用三段论的形式表示演绎推理将下列演绎推理写成“三段论”的形式：(1)一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；(2)三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；(3)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数．【解】(1)一切偶数都能被2整除，大前提0是偶数，小前提所以0能被2整除．结论(2)三角形的内角和是180°，大前提等边三角形是三角形，小前提故等边三角形的内角和是180°.结论(3)循环小数是有理数，大前提0.332·是循环小数，小前提所以0.332·是有理数．结论将演绎推理写成三段论的方法(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略．(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1.给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有的直线；已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，a∥α，所以a∥b.上述推理结论不一定是正确的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A.大前提是错误的，直线平行于平面，并不是平行于平面内所有的直线，还有异面直线的情况．2．把下列推理写成三段论的形式．(1)因为△ABC三边的长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线．解：(1)一条边长的平方等于其他两条边长的平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3，4，5，且32＋42＝52，小前提所以△ABC是直角三角形．结论(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提函数y＝2x＋5是一次函数，小前提所以函数y＝2x＋5的图象是一条直线．结论探究点2演绎推理在证明代数中的应用已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．【证明】如果在(－1，＋∞)上f′(x)＞0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，大前提因为a＞1，所以f′(x)＝axlna＋3（x＋1）2＞0，小前提所以函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．结论(1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．(2)在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不等关系的一般性原理(如基本不等式等)，这是大前提，然后利用“三段论”进行推理．此时应注意不等式性质及定理成立的条件．1.已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系是________．解析：当0a1时，函数f(x)＝ax为减函数，大前提a＝5－12∈(0，1)，小前提所以函数f(x)＝5－12x为减函数，故由f(m)f(n)，得mn.结论答案：mn2．设函数f(x)＝exx2＋ax＋a，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．解：若函数对任意实数值恒有意义，则函数定义域为R，大前提因为f(x)的定义域为R，小前提所以x2＋ax＋a≠0恒成立．所以Δ＝a2－4a0.所以0a4，即当0a4时，f(x)的定义域为R.结论探究点3演绎推理在证明几何中的应用如图，D，E，F分别是△ABC中BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．【证明】因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论若本例中增加条件“∠C＝∠A”，证明：∠BFD＝∠BDF.证明：因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两直线平行，同位角相等，大前提FD∥AE，且∠BDF与∠C是同位角，小前提所以∠BDF＝∠C.结论又因为∠C＝∠A，∠BFD＝∠A，小前提所以∠BFD＝∠BDF.结论用三段论证明几何问题的一般步骤(1)理清楚证明命题的一般思路．(2)找出每一个结论得出的前提．(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．即在几何证明问题中，每一步实际都含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提．把一般性原理应用于特殊情况，从而得到结论．已知空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.证明：三角形的中位线平行于第三边，大前提因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF是△ABD的中位线，小前提所以EF∥BD.结论如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行，大前提因为EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD.结论1．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某药先在猴子身上试验，试验成功后再用人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：选D.由老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，知A中推理为类比推理；由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，是由特殊到一般，故B中推理为归纳推理；由三角形性质联想得到四面体的性质，故C中推理为类比推理；由通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列(大前提)，数列{－2n}满足这种形式(小前提)，则数列{－2n}为等比数列(结论)，可得D中推理为演绎推理．2．“对于三条直线a，b，c，可由a∥b，a∥c推得b∥c.”则以下说法正确的是()A．三条直线a，b，c是大前提B．a∥b是大前提C．a∥b，a∥c是小前提D．以上说法都不正确解析：选C.演绎推理的主要形式就是三段论，此命题的大前提是“两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行”，小前提是“a∥b，a∥c”，结论是“b∥c”．故选C.3．在推理“因为y＝sinx在0，π2上是增函数，所以sin3π7sin2π5”中，大前提是____；小前提是____；结论是______．解析：大前提是“y＝sinx在0，π2上是增函数”．小前提是“3π7，2π5∈0，π2且3π72π5”．结论为“sin3π7sin2π5”．答案：y＝sinx在0，π2上是增函数3π7，2π5∈0，π2且3π72π5sin3π7sin2π54．将下列的演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．(2)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1，2，3，…，n是等差数列，所以数列1，2，3，…，n的通项公式具有an＝pn＋q的形式．解：(1)每个菱形的对角线都相互垂直，大前提正方形是菱形，小前提所以正方形的对角线相互垂直．结论(2)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，大前提数列1，2，3，…，n是等差数列，小前提所以数列1，2，3，…，n的通项公式具有an＝pn＋q的形式．结论知识结构深化拓展合情推理和演绎推理的差异与联系合情推理演绎推理归纳推理类比推理差异推理形式由部分到整体，由个别到一般由特殊到特殊由一般到特殊结论结论不一定正确，有待证明在大、小前提和推理形式都正确的情况下，结论一定正确联系合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的