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2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理第二章推理与证明1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2.了解合情推理在数学发现中的作用．第二章推理与证明1．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_________都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的______________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)全部对象某些已知特征归纳推理类比推理特征归纳推理是由部分到整体、由______到______的推理类比推理是由特殊到______的推理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为___________．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想个别一般特殊合情推理1.归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等．(2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，需要经过逻辑证明和实践检验．因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠．(4)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果．(2)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．(3)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．()(2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．()(3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()答案：(1)×(2)√(3)×鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，所以“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对答案：B数列5，9，17，33，x，…中的x等于()A．47B．65C．63D．128答案：B在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an＝________．解析：因为a1＝0＝21－2，an＋1＝2an＋2，所以a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，…猜想an＝2n－2.答案：2n－2探究点1数与式的推理(1)给出下面的等式：1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝11111，12345×9＋6＝111111，…猜测123456×9＋7等于()A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113(2)已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝an1＋an(n＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．【解】(1)选B.由几组数据观察可知，等号左边变化的依次为1和2，12和3，123和4，1234和5，12345和6，等号右边依次为2个1，3个1，4个1，5个1，6个1，因此猜测当等号左边为123456和7时，对应等号右边为7个1.(2)当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝11＋1＝12；当n＝3时，a3＝121＋12＝13；当n＝4时，a4＝131＋13＝14.通过观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝1n.由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．1.观察下列式子：1＋12＋131，1＋12＋13＋…＋1732，1＋12＋13＋…＋1152，…则仿照上面的规律，可猜想此类不等式的一般形式为________________．解析：观察式子可得规律：不等号的左侧是1＋12＋13＋…＋12n＋1－1，共(2n＋1－1)项的和；不等号的右侧是n＋12(n∈N*)．故猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋12n＋1－1n＋12(n∈N*)．答案：1＋12＋13＋…＋12n＋1－1n＋12(n∈N*)2．如图是杨辉三角的前5行，试写出第8行，并归纳、猜想其一般规律．111121133114641解：第8行：172135352171.一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它“肩”上两数字之和；(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．探究点2几何图形中的归纳推理(1)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n(n∈N*)个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378【解析】(1)从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.(2)记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.【答案】(1)C(2)C归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面图形或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需将图形问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：1.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各个数位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是⊥__|||，那么5288用算筹可表示为()解析：选C.由题意知，5288的各个数位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位用纵式表示，十位、千位用横式表示，则5288用算筹可表示为.2．图(1)是棱长为1的小正方体，图(2)(3)是由这样的小正方体摆放而成的．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层……将第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝____________；(3)Sn＝____________(n∈N*)．解析：第1层：1个；第2层：3个，即(1＋2)个；第3层：6个，即(1＋2＋3)个；第4层：10个，即(1＋2＋3＋4)个；….由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n，所以Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2(n∈N*)，S10＝55.答案：(1)10(2)55(3)n（n＋1）2探究点3类比推理及其应用(1)(2018·山西太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x＝x求得x＝5＋12.类比上述过程，则3＋23＋2…＝()A．3B．13＋12C．6D．22(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【解】(1)选A.令3＋23＋2…＝m(m0)，两边平方，得3＋23＋23＋2…＝m2，即3＋2m＝m2，解得m＝3(m＝－1舍去)．(2)如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度．由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23.若本例(2)中“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋b2c2＝1.于是把结论类比到四面体PA′B′C′中，我们猜想，四面体PA′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.类比推理的一般模式A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a′，b，′c′(a，b，c分别与a′，b′，c′相似或相同)，则B类事物可能具有性质d′(d与d′相似或相同)．1.设数列{an}是以d为公差的等差数列，数列{bn}是以q为公比的等比数列．将数列{an}的相关量或关系式输入“LHQ型类比器”左端的入口处，经过“LHQ型类比器”后从右端的出口处输出数列{bn}的相关量或关系式，则右侧的“？”处应该是____________．解析：由题目中的类比的对应关系可知Bn＝b1×(q)n－1.答案：Bn＝b1×(q)n－12．对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图1所示的几何图形，其面积S1＝59；第二步，将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2所示的几何图形，其面积S2＝592；依次类推，到第n步，所得图形的面积Sn＝59n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积Vn＝____________．解析：类比到空间中，第一步，将棱长为1的正方体分割成3×3×3＝27个相等的小正方体，接着取中心的那个小正方体和八个顶点处的8个小正方体，共9个小正方体，所得几何体的体积V1＝927＝13；第二步，将第一步中的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，所得几何体的体积V2＝132；依次类推，到第n步，所得几何体的体积Vn＝13n.答案：13n1．已知数列：1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则该数列的第k(k∈N*)项为()A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2解析：选D.由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k项是从以1为首项，a