2019-2020学年高中数学 第二章 统计 2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估

2．2用样本估计总体2．2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征第2课时标准差第二章统计课前自主预习1．标准差的求法标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝.其中，xi(i＝1,2，…，n)是，n是，x是□011n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]□02样本数据□03样本容量□04样本平均数．2．方差的求法标准差的平方s2叫做方差．s2＝．3．标准差、方差描述样本数据的特征方差反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度常用标准差，即样本方差的算术平方根．□051n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方差越大，数据的稳定性越强．()(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．()(3)方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和．()(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．()√×××2．做一做(1)下列说法不正确的是()A．方差是标准差的平方B．标准差的大小不会超过极差C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散解析标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．(2)(教材改编P82T6)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：①平均命中环数为________；②命中环数的标准差为________．72解析①x－＝110×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.②s2＝110×[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，s＝2.(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．2解析由题意知15×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以样本方差为s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.课堂互动探究探究1样本的标准差与方差的求法例1从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．[解]x－甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，s2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，s甲＝104.2＝10.208.x－乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，同理s2乙＝128.8，s乙＝128.8＝11.349.拓展提升对标准差与方差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．【跟踪训练1】某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求这次考试成绩的平均数和标准差．注：标准差s＝1n[x1－x2＋…＋xn－x2]＝1n[x21＋x22＋…＋x2n－nx2]解设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为x.根据题意，有x＝90×20＋80×2040＝85，42＝120(x21＋x22＋…＋x220－20×902)，62＝120(x221＋x222＋…＋x240－20×802)，∴x21＋x22＋…＋x240＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.再由变形公式，得s2＝140(x21＋x22＋…＋x240－40x2)＝140(x21＋x22＋…＋x240－40×852)＝140×(291040－289000)＝51，∴s＝51.探究2样本标准差、方差的实际应用例2某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲：9582888193798478乙：8392809590808575试比较哪个工人的成绩较好．[解]x甲＝18×(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x乙＝18×(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s2甲＝18×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s2乙＝18×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵x甲＝x乙，s2甲s2乙，∴甲的成绩较稳定．综上可知，甲的成绩较好．拓展提升比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离．【跟踪训练2】从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：甲897976101086乙10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．解(1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为x甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，乙的平均数为x乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8＋8)＝8，甲的标准差为s甲＝110×[8－82＋9－82＋…＋6－82]＝2，乙的标准差为s乙＝110×[10－82＋9－82＋…＋8－82]＝305，故甲的平均数为8，标准差为2，乙的平均数为8，标准差为305.(2)∵x甲＝x乙，且s甲s乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛．探究3标准差、方差的图形分析例3样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如下图，则标准差最大的一组是()A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组[解析]第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．拓展提升由图形分析标准差、方差的大小从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．【跟踪训练3】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是6，故A不正确；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，故B不正确；甲、乙的成绩的极差都是4，故D不正确；甲的成绩的方差为15×(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15×(12×3＋32)＝2.4.故C正确．1.极差、方差与标准差的区别与联系数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差．它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离．注意：标准差比方差多开一次方，但它的度量单位与原始数据一致，有时用它比较方便，但方差计算容易些，其作用是完全一样的.2.平均数与标准差在估计总体时的差异(1)平均数提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使人对总体作出片面的判断，样本中的最大值和最小值对平均数的影响较大，所以平均数有时难以概括样本数据的实际状态．(2)当样本的平均数相等或相差无几的时候，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．(3)标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．3.方差的常用性质(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．(2)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.随堂达标自测1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A．平均数B．中位数C．方差D．众数解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．样本数据2,4,6,8,10的标准差为()A．40B．8C．210D．22解析x＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为15×[2－62＋4－62＋6－62＋8－62＋10－62]＝22.3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)丙解析分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．0.1解析这组数据的平均数x＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s2＝4.7－5.12＋4.8－5.12＋5.1－5.12＋5.4－5.12＋5.5－5.125＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1.5．甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．解(1)x甲＝16×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．