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第二章统计2．1.2系统抽样考点学习目标核心素养系统抽样的概念、特点理解系统抽样的概念、特点数学抽象系统抽样的方法和操作步骤掌握系统抽样的方法和操作步骤，会用系统抽样法进行抽样逻辑推理、数学运算第二章统计问题导学(1)什么是系统抽样？(2)系统抽样与简单随机抽样有什么关系？(3)系统抽样的特点是什么？1．系统抽样的概念一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可先将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取______个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法就是系统抽样．一个2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)编号：先将总体的N个个体______．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2)分段：__________________，对编号进行分段．当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn.编号确定分段间隔k(3)确定第一个编号：在第1段用__________________确定第一个个体编号l(l≤k)．(4)成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l____________得到第2个个体编号(l＋k)，再______得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.简单随机抽样加上间隔k加k■名师点拨系统抽样的特点(1)适用于个体数较多，且个体之间无明显差异的总体．(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称为等距抽样，这里的间隔一般为k＝NnNn表示不大于Nn的最大整数.(3)在第一部分的抽样采用简单随机抽样．(4)在系统抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，均为nN(N为总体容量，n为样本容量)．(5)抽取的个体按从小到大的顺序排列时，从第2个号码起，每个号码与前面一个号码的差都等于同一个常数．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)系统抽样中，在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()(2)系统抽样中，每个个体被抽到的可能性与所分组数有关．()(3)系统抽样中，所分组数和样本容量是一致的．()答案：(1)√(2)×(3)√校学生会把全校同学中学籍号末位为0的同学召集起来开座谈会，运用的抽样方法是()A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．简单随机抽样答案：C(2019·辽宁省凌源市三校期末联考)高二(1)班有50名学生，随机编的学号为1，2，…，50，现用系统抽样方法，从中选出5名学生，则这5名学生的学号可能是()A．6，16，26，36，46B．5，12，24，36，48C．7，17，23，31，45D．2，12，26，31，44解析：选A.利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，由此可得B，C，D均错误，A正确．故选A.某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是________．解析：由题意，分段间隔k＝484＝12，所以6应该在第一组，所以第二组为6＋484＝18.答案：18下列抽样中不是系统抽样的是()A．标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，从小号到大号排序，随机选i0号作为起始号码，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样B．工厂生产的产品，在用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验C．对某一市场调查，规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止系统抽样的判断D．在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的听众留下来座谈【解析】B项中，传送带的速度是恒定的，实际上是将某一段时间内生产的产品分成一组，且可以认为这些产品已经排好，又总在某一位置抽取样品，这正好符合系统抽样的概念．选项C因事先不知道总体的个数，而且抽样时不能保证每个个体等可能入样，因此它不是系统抽样，故选C.【答案】C(1)系统抽样的特点是：①总体中的个体有限；②不放回抽样；③每个个体被抽到的可能性相等；④等距抽样．(2)当总体容量较大，样本容量也较大时，适宜采用系统抽样法．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是()A．某市的4个区共有2000名学生，4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样解析：选C.A项中总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B项中样本容量很小，适宜用随机数表法；D项中总体容量很小，适宜用抽签法．故选C.某装订厂平均每小时大约装订图书360册，要求检验员每小时抽取40册图书，检验其质量状况，请你设计一个抽样方案．系统抽样的方案设计【解】第一步：把这些图书分成40个组，由于36040＝9，所以每个小组有9册书；第二步：对书进行编号，编号分别为0，1，…，359；第三步：从第一组(编号为0，1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书．比如说，其编号为k；第四步：按顺序抽取编号分别为下面的数字的图书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．把本例中的“360册”改为“362册”，其他条件不变应怎么设计？解：第一步：把这些图书分成40个组，由于36240的商是9，余数是2，所以每个小组有9册书，还剩2册书，这时抽样间隔就是9；第二步：先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取2册，不参与检验；第三步：将剩下的书进行编号，编号分别为0，1，…，359；第四步：从第一组(编号为0，1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书．比如说，其编号为k；第五步：按顺序抽取编号分别为下面的数字的图书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．解决系统抽样问题的两个关键步骤(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．用系统抽样法抽取样本，当Nn不为整数时，取k＝[Nn]，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．某校高三年级的295名学生已经随机编号为1，2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．解：(1)因为按照1∶5的比例抽取，所以样本容量为295÷5＝59，分段间隔为5.(2)我们把295名学生分成59组，每组5人，第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依此类推，第59组是编号为291～295的5名学生．(3)采用简单随机抽样的方法，从第1组的5名学生中抽1名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，则编号为k＋5L(L＝0，1，2，…，58)的这59个个体就是所抽取的样本，如当k＝3时的样本编号为3，8，13，…，288，293.将一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，…，9.现要用系统抽样法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有1个的后两位数是87，求x的取值范围．系统抽样中的有关计算【解】(1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)当k＝0，1，2，…，9时，33k的值依次为0，33，66，99，132，165，198，231，264，297.又抽取样本的10个号码中有1个的后两位数是87，从而x可以为87，54，21，88，55，22，89，56，23，90.所以x的取值范围是{21，22，23，54，55，56，87，88，89，90}．系统抽样计算问题的解法及技巧(1)在简单随机抽样、系统抽样中，若总体数为N，样本容量为n，则每个个体被抽到的概率P＝nN，对于这三个值，我们可以知二求一．(2)若已知总体数，且样本容量已知，则采用系统抽样方法进行抽样时，如果要剔除一些个体，那么需要剔除的个体数为总体数除以样本容量所得的余数．(3)利用系统抽样的概念与等距特点，若在第一段抽取的编号为m，分段间隔为d，则在第k段中抽取的第k个编号为m＋(k－1)d.(4)若求落入区间[a，b]的样本个数，则可通过列出不等式a≤m＋(k－1)d≤b，解出满足条件的k的取值范围，再根据k∈N*，求出其范围内的正整数个数即可．(2019·福建省五校联考)某次考试结束后，从考号为0001～1000号的1000份试卷中，采用系统抽样法抽取50份试卷进行试评，则在考号区间[100，199]之中被抽到的试卷份数为()A．一定是5份B．可能是4份C．可能会有10份D．不能具体确定解析：选A.样本间隔为1000÷50＝20，考号区间[100，199]的个数为100，则100÷20＝5，即一定是5份．故选A.1．系统抽样适用的总体应是()A．容量较小的总体B．容量较大的总体C．个体数较多但均衡的总体D．任何总体解析：选C.根据系统抽样的概念，只能是个体数较多且个体之间均衡的总体才能使用系统抽样．2．(2019·云南省玉溪第一中学期中考试)已知高一(1)班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，…，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是()A．16B．22C．29D．33解析：选C.样本间隔为48÷8＝6，则抽到的号码为5＋6(k－1)＝6k－1，当k＝2时，号码为11，当k＝3时，号码为17，当k＝4时，号码为23，当k＝5时，号码为29，故选C.3．(2019·广西钦州市期末考试)2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，节目组为热心观众给予奖励，要从2018名观众中抽取50名幸运观众，先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每个人被抽到的可能性()A．均不相等B．不全相等C．都相等，且为251009D．都相等，且为140解析：选C.简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，且被抽到的概率为样本容量比上总体容量，故在2018人中，每个人被抽到的可能性都相等，且为251009.故选C.