2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布章末小结与测评课件 新人教A版选修2-3

考点一条件概率在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．在计算时，在事件A发生的前提下缩减基本事件总数，求出其包含的基本事件数，再在这些基本事件中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，然后利用古典概型公式求得条件概率．[典例1]有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．解：记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝520＝14.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝119.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝119÷14＝419.解：法一：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C25＋C35＋C45＋C55＝26，事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C35＝10，P(B|A)＝nABnA＝nBnA＝1026＝513.法二：事件A，B同上，则P(A)＝C25＋C35＋C45＋C5525＝2632，P(AB)＝P(B)＝C3525＝1032，所以P(B|A)＝PABPA＝PBPA＝513.考点二相互独立事件的概率“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．因此，在事件A与B相互独立的情况下，可用公式P(AB)＝P(A)P(B)求事件A，B同时发生的概率．[典例2]A，B，C三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A胜B的概率为0.4，B胜C的概率为0.5，C胜A的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮：A与B；第二轮：第一轮的胜者与C；第三轮：第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮：第三轮的胜者与第二轮的败者．求：(1)B连胜四轮的概率；(2)C连胜三轮的概率．解：(1)要B连胜四轮，以下这些相互独立事件须发生：第一轮B胜A，第二轮B胜C，第三轮B再胜A，第四轮B再胜C.根据相互独立事件同时发生的概率公式，得所求概率为P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.故B连胜四轮的概率为0.09.(2)C连胜三轮应分两种情况：①第一轮A胜B，则第二轮C胜A，第三轮C胜B，第四轮C胜A，得C连胜三轮的概率为P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072;②第一轮B胜A，则第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，得C连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.由于①②两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.故C连胜三轮的概率为0.162.[对点训练]2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．解：(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.考点三离散型随机变量的分布列及均值、方差均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．离散型随机变量的均值与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E(X);(5)由方差的定义，求D(X)．[典例3]甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方是2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及均值．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝233＝827，P(A2)＝C232321－23×23＝827，P(A3)＝C242321－232×12＝427.所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是827，827，427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝C241－232232×1－12＝427.由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1627，P(X＝1)＝P(A3)＝427，P(X＝2)＝P(A4)＝427，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝327.故X的分布列为X0123P1627427427327所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.[对点训练]3．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列、均值及方差．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1.X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为X－2－101P1145142727E(X)＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.D(X)＝－2＋3142×114＋－1＋3142×514＋3142×27＋1＋3142×27≈0.88.考点四二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.这时称X服从二项分布，记为X～B(n，p)．当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．[典例4](2019·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．[解](1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X～B3，23，从而P(X＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望E(X)＝3×23＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B3，23，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知，事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝827×29＋49×127＝20243.[对点训练]4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.故X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216E(X)＝3×0.6＝1.8.考点五正态分布对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识．但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想，一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题，这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式，记住正态总体在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．[典例5](1)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(0X4)＝0.8，则P(X4)的值为()A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6(2)2018年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为()A．80B．100C．120D．200(3)若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ3)＝0.1587，则P(ξ1)＝___