2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习提升课课件 新人教A版选修2-3

章末复习提升课第二章随机变量及其分布口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？条件概率【解】记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P(A)＝4×56×5＝23.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P(AB)＝4×36×5＝25.(3)利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝2523＝35.条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝P（AB）P（B）或P（B|A）＝P（AB）P（A）求解．(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝n（AB）n（A）求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A．110B．15C．25D．12解析：选C．设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝12，P(AB)＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1512＝25.故选C．为了解某校今年高三毕业班报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，其中第2组的频数为12.相互独立事件的概率与二项分布(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列．【解】(1)设该校报考飞行员的人数为n，前三个小组的频率分别为p1，p2，p3，则由条件可得p2＝2p1，p3＝3p1，p1＋p2＋p3＋（0.037＋0.013）×5＝1，解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375.又p2＝0.25＝12n，解得n＝48，所以该校报考飞行员的总人数为48.(2)由(1)可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60kg的概率为P＝1－(0.125＋0.25)＝58，依题意有X～B3，58，故P(X＝k)＝Ck358k·383－k，k＝0，1，2，3.所以随机变量X的分布列为X0123P27512135512225512125512求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P(A—B—)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E＝甲组研发新产品成功，F＝乙组研发新产品成功，由题设知P(E)＝23，P(E—)＝13，P(F)＝35，P(F—)＝25，且事件E与F，E与F—，E—与F，E—与F—都相互独立．(1)记H＝至少有一种新产品研发成功，则H—＝E—F—，于是P(H—)＝P(E—)P(F—)＝13×25＝215，故所求的概率为P(H)＝1－P(H—)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(E—F—)＝13×25＝215，P(X＝100)＝P(E—F)＝13×35＝315＝15，P(X＝120)＝P(EF—)＝23×25＝415，P(X＝220)＝P(EF)＝23×35＝615＝25.故所求X的分布列为X0100120220P2151541525数学期望为E(X)＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．离散型随机变量的均值与方差2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？解：(1)按方案a抽奖一次，获得奖金的概率P＝C22C25＝110.顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次．此时中奖次数服从二项分布B3，110.设所得奖金为w1元，则E(w1)＝3×110×30＝9.即顾客A所获奖金的期望为9元．(2)按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1＝C23C25＝310.若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则由方案a中奖的次数服从二项分布B12，110，由方案b中奖的次数服从二项分布B21，310，设所得奖金为w2元，则E(w2)＝2×110×30＋1×310×15＝10.5.若顾客A按方案b抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B32，310.设所得奖金为w3元，则E(w3)＝2×310×15＝9.结合(1)可知，E(w1)＝E(w3)E(w2)．所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，可使所获奖金的期望值最大．求离散型随机变量的期望与方差的步骤一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字)．(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)．解：(1)由已知，随机变量η的取值为2，3，4，5，6.投掷一次正方体骰子所得点数为X，则P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝13，P(X＝3)＝12，即P(η＝2)＝16×16＝136，P(η＝3)＝2×16×13＝19，P(η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518，P(η＝5)＝2×13×12＝13，P(η＝6)＝12×12＝14.故η的分布列为P23456η136195181314(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝14，因为随机变量ξ～B10，14，所以E(ξ)＝np＝10×14＝52，D(ξ)＝np(1－p)＝10×14×34＝158.设X～N(10，1)．(1)证明：P(1X2)＝P(18X19)；(2)设P(X≤2)＝a，求P(10X18)．正态分布【解】(1)证明：因为X～N(10，1)，所以可得正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1，2)和(18，19)关于直线x＝10对称，所以12φμ，σ(x)dx＝1819φμ，σ(x)dx，即P(1X2)＝P(18X19)．(2)因为P(X≤2)＋P(2X≤10)＋P(10X18)＋P(X≥18)＝1，P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，P(2X≤10)＝P(10X18)，所以，2a＋2P(10X18)＝1，即P(10X18)＝1－2a2＝12－a.根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c0)对目标概率进行转化求解．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σX≤μ＋2σ)≈95.45%，P(μ－3σX≤μ＋3σ)≈99.73%.)A．1193B．1359C．2718D．3413解析：选B.对于正态分布N(－1，1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×(0.9545－0.6827)＝0.1359，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.13591＝0.1359，所以投入10000个点，落入阴影部分的个数约为10000×0.1359＝1359.1．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6，0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A．0.6B．0.8C．0.75D．0.5解析：选C.令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次且击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P(A—)P(B—)＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝P（AC）P（C）＝0.60.8＝0.75.2．甲罐中有4个红球，2个白球和4个黑球，乙罐中有6个红球，3个白球和1个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示是从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示是从乙罐中取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①A1，A2，A3是两两互斥的事件；②事件B与事件A1相互独立；③P(B)＝2755；④P(B|A2)＝611.解析：①从甲罐中任取一球，当“取出红球”时事件A1发生，此时事件A2，A3一定不会发生，即A1，A2，A3两两互斥，故①正确；②事件A1发生与否，直接影响到事件B的发生，故B与A1相互不独立，故②错误；③P(B)＝P(B·(A1∪A2∪A3))＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝410×711＋210×611＋410×611＝3255，故③错误；P(B|A2)＝P（A2B）P（A2）＝655210＝611，故④正确．答案：①④3．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“入市”．若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同)．(1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率；(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率．解：(1)三人恰好买同一支股票的概率为P1＝10×110×110×110＝1100.(2)三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P2＝10×C23×1102×910＝27100.由(1)知，三人恰好买到同一支股票的概率为P1＝1100，所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为P＝P1＋P2＝1100＋27100＝725.4．中国航母“辽宁