2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课件 新人教A版选修2-3

章末复习知识系统整合规律方法收藏1．离散型随机变量的分布列(1)分布列若离散型随机变量X的所有不同取值为x1，x2，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称以下表格为随机变量X的概率分布列，简称为分布列．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn离散型随机变量具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②∑ni＝1pi＝1.(2)两点分布两点分布也叫0－1分布，它只有两个试验结果0和1，其分布列为X01P1－pp(3)二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.这时称X服从二项分布，记为X～B(n，p)．2．离散型随机变量的均值与方差(1)均值与方差若离散型随机变量X的分布列是P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望；D(X)＝[x1－E(X)]2×p1＋[x2－E(X)]2×p2＋…＋[xn－E(X)]2×pn为随机变量X的方差．(2)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)两点分布与二项分布的均值与方差①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．3．条件概率及事件的相互独立性(1)条件概率：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．(2)条件概率的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也都相互独立．4．正态分布(1)正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．(2)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．学科思想培优一条件概率在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．在计算时，在事件A发生的前提下缩减基本事件总数，求出其包含的基本事件数，再在这些基本事件中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，然后利用古典概型公式求得条件概率．例1有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．[解]记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝520＝14.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝119.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝119÷14＝419.答案拓展提升由于题目中出现“在……条件下”，所以可确定为条件概率，要注意条件概率的计算P(B|A)＝PABPA.二相互独立事件与独立重复试验若A，B为相互独立的事件，则A－与B，A与B－，A－与B－分别相互独立，则有P(A－B)＝P(A－)P(B)，P(AB－)＝P(A)P(B－)，P(A－B－)＝P(A－)P(B－)；若A1，A2，A3，…，An相互独立，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．独立重复试验是相互独立事件的特例．例2甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．求：(1)乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．[解]设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A－1B1)＋P(A－1B－1A－2B2)＋P(A－1B－1A－2B－2A－3B3)＝P(A－1)P(B1)＋P(A－1)P(B－1)P(A－2)P(B2)＋P(A－1)P(B－1)P(A－2)P(B－2)P(A－3)P(B3)答案＝23×12＋232122＋233123＝1327.答案(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(A－1B－1A－2B2)＋P(A－1B－1A－2B－2A3)＝P(A－1)P(B－1)P(A－2)P(B2)＋P(A－1)P(B－1)P(A－2)P(B－2)P(A3)＝232122＋232122×13＝427.答案拓展提升(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)注意互斥事件与独立事件的区别．例3某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张．(1)两人都抽到足球票的概率是多少？(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？[解]记“甲从第1组10张票中任抽一张，抽到足球票”为事件A，“乙从第2组10张票中任抽一张，抽到足球票”为事件B，“甲从第1组10张票中任抽一张，抽到排球票”为事件A－，“乙从第2组10张票中任抽一张，抽到排球票”为事件B－.答案于是P(A)＝35，P(A－)＝25，P(B)＝25，P(B－)＝35.(1)P(AB)＝P(A)·P(B)＝35·25＝625.(2)∵P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝25·35＝625.∴两人中至少有一人抽到足球票的概率P＝1－P(A－B－)＝1925.答案拓展提升(1)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(2)公式“P(A＋B)＝1－P(A－B－)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．三离散型随机变量的分布列及均值、方差均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．离散型随机变量的均值与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E(X)；(5)由方差的定义，求D(X)．例4一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．[解](1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112，答案故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.答案拓展提升从近几年全国高考试题来看，古典概型及离散型随机变量的分布列在实际生活中的应用一直是高考命题的热点，但试题的背景由传统的摸球、骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样、频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多．例5甲、乙两人掷一枚质地均匀的硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为η.(1)分别求ξ与η的期望；(2)规定：若ξη，则甲获胜；若ξη，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率．[解](1)依题意，ξ～B3，12，η～B2，12，所以E(ξ)＝3×12＝32，E(η)＝2×12＝1.答案(2)P(ξ＝0)＝C03123＝18，P(ξ＝1)＝C13123＝38，P(ξ＝2)＝C23123＝38，P(ξ＝3)＝C33123＝18；P(η＝0)＝C02122＝14，P(η＝1)＝C12122＝12；P(η＝2)＝C22122＝14.答案甲获胜的情况有：ξ＝1，η＝0；ξ＝2，η＝0,1；ξ＝3，η＝0,1,2，所以甲获胜的概率为P1＝38×14＋38×14＋12＋18×14＋12＋14＝12.乙获胜的情形有：η＝1，ξ＝0；η＝2，ξ＝0,1，所以乙获胜的概率为P2＝12×18＋14×18＋38＝316.答案拓展提升把实际问题中的简单事件的概率或者离散型随机变量的分布列问题转化为常见的概率或离散型随机变量的分布类型是解决概率、分布列问题常用的思想方法．常见的简单事件的概率或分布类型有：两点分布、超几何分布、独立重复试验与二项分布等．四有关正态分布问题对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求了解正态分布中的最基础的知识．正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为3σ原则．例6某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩在550～600分的人数．[解]∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550X≤600)＝12[P(500－2×50X≤500＋2×50)－P(500－50X≤500＋50)]＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359.∴考生成绩在550～600分的人数为2500×0.1359≈340.答案拓展提升(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．五数形结合思想在正态分布中的应用例7在一次测量中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ0)，若X在(0,2)内取