2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人

第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差第二章随机变量及其分布考点学习目标核心素养离散型随机变量的方差理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，能计算简单离散型随机变量的方差数学抽象、数学运算两点分布与二项分布的方差掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差数学运算、数学建模方差的实际应用能利用方差的意义分析解决实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P64～P67的内容，并思考下列问题：1．离散型随机变量的方差、标准差的定义是什么？2．方差有哪些性质？3．两点分布与二项分布的方差分别是什么？1．方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①方差D(X)＝____________________．②标准差为__________．(2)方差的性质：D(aX＋b)＝__________．∑ni＝1(xi－E(X))2piD（X）a2D(X)■名师点拨(1)对随机变量X的方差、标准差的五点说明①随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．②随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛．④D(X)越小，随机变量X的取值越稳定，波动越小．⑤方差也可以用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2计算(可由D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi展开得到)．(2)对方差性质的四点说明①当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0.②当a＝1时，D(X＋b)＝D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．③当b＝0时，D(aX)＝a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．④当a，b均为非零常数时，随机变量η＝aX＋b的方差D(η)＝D(aX＋b)＝a2D(X)．2．两个常见分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝___________．(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝____________．p(1－p)np(1－p)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()(2)若a是常数，则D(a)＝0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．()×√√已知X的分布列为X1234P14131614则D(X)的值为()A．2912B．121144C．179144D．1712答案：C设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45解析：选A．由已知有np＝1.6，np（1－p）＝1.28，解得n＝8，p＝0.2.已知X的分布列为X012P131313设Y＝2X＋3，则D(Y)＝________．答案：83已知X的分布列如下：X－101P1214a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.求离散型随机变量的方差【解】(1)由分布列的性质，知12＋14＋a＝1，故a＝14，从而X2的分布列为X201P1434(2)法一：由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X的方差D(X)＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.法二：由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1116.(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果．(2)求出随机变量取各个值的概率．(3)列出分布列．(4)利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出随机变量的期望E(X)．(5)代入公式D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差D(X)．(6)代入公式σ(X)＝D（X）求出随机变量的标准差σ.1．已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy若E(ξ)＝158，则D(ξ)等于()A．3364B．5564C．732D．932解析：选B．由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(ξ)＝158，所以2x＋3y＝118，解得x＝18，y＝38.所以D(ξ)＝(1－158)2×12＋(2－158)2×18＋(3－158)2×38＝5564.2．(2018·高考浙江卷)设0p1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1－p212p2则当p在(0，1)内增大时，()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小解析：选D．由题可得E(ξ)＝12＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋14＝－p－122＋12，所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D．一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30s，求司机总共等待时间η的期望与方差．两点分布与二项分布的方差【解】(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B(6，13)，故E(ξ)＝6×13＝2，D(ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.正确认识二项分布及其在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程．(2)对于二项分布公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练掌握．1．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3解析：选B．由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.2．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷1次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．解：(1)X服从两点分布X01P1212所以E(X)＝p＝12，D(X)＝p(1－p)＝12×1－12＝14.(2)由题意知X～B10，12，所以E(X)＝np＝10×12＝5，D(X)＝np(1－p)＝10×12×1－12＝52.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．方差的实际应用【解】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)＞E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)＞D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案．第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为12；第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15；第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为ξ4－2P1212ξ的数学期望E(ξ)＝4×12＋(－2)×12＝1.若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：η20－1P351515η的数学期望E(η)＝2×35＋0×15＋(－1)×15＝1.若按方案三执行，收益y＝10×3%＝0.3，因此E(ξ)＝E(η)＞y.又D(ξ)＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9，D(η)＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85.由以上可知D(ξ)＞D(η)．这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥．所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7B．1.7和0.09C．0.3和0.7D．1.7和0.21解析：选D．E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.2．已知某离散型随机变量X服从的分布列如下表所示，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2mA．19B．29C．13D．23解析：选B．由题意可知m＋2m＝1，所以m＝13，所以E(X)＝0×13＋1×23＝23，所以D(X)＝0－232×13＋1－232×23＝29.3．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则D(X)＝________.解析：因为X的取值为0，1，P(X＝0)＝12×12＝14，P(X＝1)＝12＋12×12＝34，所以E(X)＝0×14＋1×34＝34，D(X)＝916×14＋116×34＝316.答案：3164．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．解：由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝1020＝12，P(ξ＝1)＝120，P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝320，P(ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为ξ01234P1212011032015所以E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D(ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.