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第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性第二章随机变量及其分布考点学习目标核心素养相互独立事件的概念理解相互独立事件的概念及意义数学抽象相互独立事件同时发生的概念能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题数学运算、数学建模问题导学预习教材P54～P55的内容，并思考下列问题：1．事件的相互独立性的定义是什么？2．相互独立事件有哪些性质？3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？1．相互独立的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝______________，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立的性质若事件A与B相互独立，那么A与_____，A—与___，A—与B—也都相互独立．P(A)P(B)B—B■名师点拨事件A，B相互独立的充要条件事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．(1)充分性：由定义知P(AB)＝P(A)P(B)时，事件A，B相互独立．(2)必要性：由A，B相互独立得P(B|A)＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件.()√√√下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”答案：A甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．答案：0.56一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为________．答案：(1－a)(1－b)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩．(2)家庭中有三个小孩．相互独立事件的判断解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．判断两个事件是否独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号)①A，B；②A，C；③B，C.解析：根据事件相互独立的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．答案：①②③2．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽得J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1)A与B.(2)C与A.解：(1)P(A)＝452＝113，P(B)＝2652＝12.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝252＝126，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率．(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．相互独立事件同时发生的概率【解】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A—)＝0.2，P(B—)＝0.3，P(C—)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(A—BC)＋P(AB—C)＋P(ABC—)＝P(A—)P(B)P(C)＋P(A)P(B—)P(C)＋P(A)P(B)P(C—)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A—B—C—)＝1－P(A—)P(B—)P(C—)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率为P3＝P(AB—C—)＋P(A—BC—)＋P(A—B—C)＝P(A)P(B—)P(C—)＋P(A—)P(B)P(C—)＋P(A—)P(B—)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.与相互独立事件有关的概率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件A—B—.(4)A，B恰有一个发生为事件AB—＋A—B．(5)A，B中至多有一个发生为事件AB—＋A—B＋A—B—.它们之间的概率关系如表所示：A，B互斥A，B相互独立P(A＋B)P(A)＋P(B)1－P(A—)P(B—)P(AB)0P(A)P(B)P(A—B—)1－[P(A)＋P(B)]P(A—)P(B—)甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)至多1个人译出密码的概率．(4)恰有1个人译出密码的概率；(5)至少1个人译出密码的概率．解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码“为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝13，P(B)＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为P(A—B—)＝P(A—)·P(B—)＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－13×14＝1112.(4)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为P(AB—＋A—B)＝P(AB—)＋P(A—B)＝P(A)P(B—)＋P(A—)P(B)＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512.(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为1－P(A—B—)＝1－P(A—)P(B—)＝1－23×34＝12.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．相互独立事件的综合应用(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．【解】(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.(2)由题意可得ξ的可能取值为0，2，4，6，8.P(ξ＝0)＝14×12＝18，P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516，P(ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P(ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316，P(ξ＝8)＝14×14＝116.所以所求ξ的分布列为ξ02468P18516516316116概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(A—)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．1．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A．164B．5564C．18D．116解析：选B．设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F中至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝5564.2．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率．(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C12C23＝23，P(B)＝C24C35＝35.因为事件A与B相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB—)＝P(A)·P(B