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第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率第二章随机变量及其分布考点学习目标核心素养条件概率的求法理解条件概率的概念，会用两种方法求条件概率数学抽象、逻辑推理、数学运算条件概率性质的应用识记条件概率的性质，能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P51～P53的内容，并思考下列问题：1．条件概率的定义是什么？2．条件概率的公式是什么？3．条件概率的特点是什么？有哪些性质？1．条件概率条件设A，B为两个事件，且P(A)0含义在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率计算公式①事件个数法：P(B|A)＝_________________②定义法：P(B|A)＝__________n（AB）n（A）P（AB）P（A）■名师点拨对条件概率计算公式的两点说明(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)．(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝n（AB）n（A）＝n（AB）n（Ω）n（A）n（Ω）＝P（AB）P（A）.2．条件概率的性质(1)P(B|A)∈__________．(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_______________．[注意](1)前提条件：P(A)0.(2)P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，必须B与C互斥，并且都是在同一个条件A下．[0，1]P(B|A)＋P(C|A)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)P(B|A)与P(A|B)不同．()×√已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)为()A．950B．12C．910D．14答案：B袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A．35B．34C．12D．310解析：选C．在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P＝24＝12.某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为()A．8225B．12C．38D．34解析：选C．设事件A为下雨，事件B为刮风，由题意知P(A)＝415，P(B)＝215，P(AB)＝110，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110415＝38.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为34，用满8000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________．解析：记事件A为“用满3000小时不坏”，P(A)＝34；记事件B为“用满8000小时不坏”，P(B)＝12.因为B⊆A，所以P(AB)＝P(B)＝12，则P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1234＝12×43＝23.答案：23任意向(0，1)区间内投掷一个点，用x表示该点的坐标，则Ω＝{x|0＜x＜1}，事件A＝{x|0＜x＜0.5}，B＝{x|0.25＜x＜1}，则P(B|A)＝________．利用定义求条件概率【解析】由题意知A∩B＝{x|0.25＜x＜0.5}，所以P(AB)＝0.5－0.251－0＝0.25，又P(A)＝0.5－01－0＝0.5，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.250.5＝12.【答案】12利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝P（AB）P（A），这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．1．某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是()A．0.32B．0.5C．0.4D．0.8解析：选B．记事件A表示“该动物活到20岁”，事件B表示“该动物活到25岁”，由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能，故事件A包含事件B，从而有P(AB)＝P(B)＝0.4，所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.40.8＝0.5.2．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A．12B．14C．16D．19解析：选A．由题知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P(A)＝12，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P(AB)＝12×12＝14，则P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1412＝12.集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．缩小基本事件范围求条件概率【解】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝915＝35.1．[变问法]本例条件不变，求乙抽到偶数的概率．解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝915＝35.2．[变条件]若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．解：甲抽到的数大于4的情形有：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5，2)，(6，1)，共2个．所以P(B|A)＝212＝16.利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝n（AB）n（A），这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．解：将产品编号为1，2，3号的看作一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9种情况，事件AB有6种情况，P(B|A)＝n（AB）n（A）＝69＝23.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功．求试验成功的概率．条件概率性质的应用【解】设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}．B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，P(R|A)＝12，P(W|A)＝12，P(R|B)＝45，P(W|B)＝15.事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝12×710＋45×310＝0.59.利用条件概率性质的解题策略(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝145÷110＝29，P(C|A)＝P（AC）P（A）＝130÷110＝13.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.所以所求的条件概率为59.1．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是()A．23B．14C．25D．15解析：选C．设Ai表示第i次(i＝1，2)取到白球的事件，因为P(A1)＝25，P(A1A2)＝25×25＝425，先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率为P(A2|A1)＝25×2525＝25.2．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是()A．14B．13C．12D．35解析：选B．抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积大于20的包含4×6，6×4，6×5，6×6共4个基本事件．所以其概率为4361236＝13.3．袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A为“三次抽到的号码之和为6”，事件B为“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)＝()A．17B．27C．16D．727解析：选A．因为P(A)＝A33＋133＝727，P(AB)＝133＝127，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝17.4．位于西部地区的A，B两地，据多年的资料记载：A，B两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A地为雨天时，B地也为雨天的概率为________．解析：记A＝“A地下雨”，B＝“B地下雨”，则AB＝“A，B两地同时下雨”，且P(A)＝6%，P(B)＝8%，P(AB)＝2%，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝2%6%＝13.答案：135．考虑恰有两个小孩的家庭．(1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；(2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)．解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}．A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}，B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}，于是得(1)P(B)＝34，P(BA)＝P(A)＝14，所以P(A|B)＝P（BA）P（B）＝13；(2)P(B1)＝12，P(B1A)＝P(A)＝14，所以P(A|B1)＝P（B1A）P（B1）＝12.