2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第5节 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项

第1课时等比数列的前n项和[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P55～P57，回答下列问题：(1)在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？提示：所得数列为1，2，4，8，…，263.它是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an＝2n－1.(2)在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？提示：转化为求通项为an＝2n－1的等比数列前64项的和．(3)类比等差数列求和的方法，能否用倒序相加法求等比数列的前n项和？提示：不能用倒序相加法求和，因为对应各项相加后的和不相等．(4)如何求等比数列an的前n项和Sn?提示：设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn.Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn.当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q；当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.2．归纳总结，核心必记等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式Sn＝na1（q＝1），a1（1－qn）1－q（q≠1）Sn＝na1（q＝1），a1－anq1－q（q≠1）[问题思考]等比数列前n项和公式与函数有何关系？提示：(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式可写成Sn＝－Aqn＋A的形式．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．[课前反思]1．等比数列的前n项和公式是：；2．公式的适用条件是：；3．如何根据题目具体条件运用公式求和？．[思考1]若已知a1及q(q≠1)，应选用哪一个求和公式？若已知an呢？名师指津：当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝a1（1－qn）1－q较好；若已知an，则用公式Sn＝a1－anq1－q较好．[思考2]若题目条件中没告诉公比q是否为1，在应用公式求和时，应注意什么问题？名师指津：要注意讨论q≠1和q＝1两种情况求解．[思考3]等比数列an的前n项和的两个公式涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中的任意几个量，就可求其他量？名师指津：已知其中的三个量，就可以确定其他的两个量．讲一讲1．在等比数列an中，(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；(2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(3)若a3＝32，S3＝92，求a1和公比q.[尝试解答](1)∵an为等比数列且a1＝1，a5＝16，∴a5＝a1q4，∴16＝q4，∴q＝2(负舍)，∴S7＝a1（1－q7）1－q＝1－271－2＝127.(2)法一：由Sn＝a1（1－qn）1－q，an＝a1qn－1以及已知条件得189＝a1（1－2n）1－2，96＝a1·2n－1.∴a1·2n＝192，∴2n＝192a1.∴189＝a1(2n－1)＝a1192a1－1，∴a1＝3.又∵2n－1＝963＝32，∴n＝6.法二：由公式Sn＝a1－anq1－q及条件得189＝a1－96×21－2，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6.(3)①当q≠1时，S3＝a1（1－q3）1－q＝92，又a3＝a1·q2＝32，∴a1(1＋q＋q2)＝92，即32q2(1＋q＋q2)＝92，解得q＝－12(q＝1舍去)，∴a1＝6.②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝32.综上得a1＝6，q＝－12或a1＝32，q＝1.(1)解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．练一练1．在等比数列an中，其前n项和为Sn.(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解：(1)由题意知a1（1＋q）＝30，a1（1＋q＋q2）＝155，解得a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56，从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.(2)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以a1（1－q4）1－q＝1①，a1（1－q8）1－q＝17②，①÷②得11＋q4＝117，解得q＝±2，所以a1＝115，q＝2或a1＝－15，q＝－2.所以an＝2n－115或an＝（－1）n×2n－15.[思考1]在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列an中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？名师指津：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．∵在等比数列an中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．[思考2]若数列an为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么S偶S奇等于何值？名师指津：S偶S奇＝q.讲一讲2．(1)在等比数列an中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n；(2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求出数列的公比和项数．[尝试解答](1)法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.由已知，得a1（1－qn）1－q＝48，①a1（1－q2n）1－q＝60.②②÷①，得1＋qn＝54，即qn＝14，③③代入①，得a11－q＝64.故S3n＝a1（1－q3n）1－q＝64×1－143＝63.法二：∵an为等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列．∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，∴S3n＝（S2n－Sn）2Sn＋S2n＝（60－48）248＋60＝63.(2)法一：设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)，由已知a1＝1，q≠1，且有85＝a1（1－q2n）1－q2，170＝a2（1－q2n）1－q2，即1－q2n1－q2＝85，①q（1－q2n）1－q2＝170.②②÷①得q＝2.又S2n＝85＋170＝255，a1＝1，∴1－22n1－2＝255，22n＝256，2n＝8.∴数列的公比为2，项数为8.法二：由等比数列前n项和的性质知S偶＝qS奇．由S偶＝170，S奇＝85，∴q＝2.又∵Sn＝170＋85＝255，a1＝1，∴1－2n1－2＝255，即2n＝256，n＝8.∴数列的公比为2，项数为8.等比数列前n项和的性质(1)在等比数列an中，连续相同项数的和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列．(2)当n为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S偶S奇＝q.(3)若一个非常数列an的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列an为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列an为等比数列．练一练2．等比数列an共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．解析：由题意知：S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160.∴公比q＝S偶S奇＝－160－80＝2.答案：23．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝1－2n1－2＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.讲一讲3．某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?(提示：lg1.6≈0.20，lg1.1≈0.041)[尝试解答]根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列an，其中a1＝5000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30000.于是得到5000（1－1.1n）1－1.1＝30000.整理，得1.1n＝1.6.两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6.用计算器算得n＝lg1.6lg1.1≈0.200.041≈5(年)．即大约5年可以使总销售量达到30000台．解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．练一练4．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加14.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？解：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800×1－15万元，……，第n年投入为800×1－15n－1万元．∴n年内总投入为an＝800＋800×1－15＋…＋800×1－15n－1＝800×1＋45＋…＋45n－1＝4000×1－45n.第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×1＋14万元，……，第n年旅游业收入为400×1＋14n－1万元．∴n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400×1＋14＋…＋400×1＋14n－1＝400×1＋54＋…＋54n－1＝1600×54n－1.(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则bn－an0，即1600×54n－1－4000×1－45n0，化简得254n＋545n－70，设x＝45n，则5x2－7x＋20，解得x25或x1.∵n≥1，∴x＝45n1，∴x25，即