2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第4节 等比数列 第2课时 等比数列的性质课件 新人教

第2课时等比数列的性质[思考1]类比等差数列an通项公式的推广结论：an＝am＋(n－m)d，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[思考2]在等差数列an中，若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq成立．那么，若an为等比数列，am、an、ap、aq之间又有什么关系成立？[思考3]在等比数列an中，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么aman＝a2k是否成立？名师指津：an＝am·qn－m．名师指津：am·an＝ap·aq．名师指津：成立．[思考4]已知an是一个无穷等比数列，公比为q.(1)将数列an中的前k项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？(2)取出数列an中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？(3)在数列an中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？名师指津：(1)是．首项为ak＋1，公比为q；(2)是．首项为a1，公比为q2；(3)是．公比为q10.猜想：下标成等差数列且公比为q的等比数列中，项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公比为qm的等比数列．[思考5]公比q＞0且q≠1时，等比数列呈现怎样的特点？名师指津：当a1＞0，q＞1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1时，等比数列是递减数列；当a1＜0，q＞1时，等比数列是递减数列；当a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列．讲一讲1．已知数列an为等比数列．(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．[尝试解答](1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵an＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.等比数列常用性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝a2p.(2)anam＝qn－m(m，n∈N*)．(3)在等比数列an中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列an为等比数列，则数列λan(λ为不等于0的常数)，1an仍然成等比数列．练一练1．(1)在等比数列an中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝________．解析：法一：设an的公比为q，则a1q＝2，a1q5＝12，解得q4＝6，∴a10＝a1q9＝a1q·(q4)2＝2×36＝72.法二：∵an是等比数列，∴a26＝a2·a10，于是a10＝a26a2＝1222＝1442＝72.答案：72(2)在等比数列an中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．解析：由于an是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a137，而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.答案：－213(3)已知数列an是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．解：∵an为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3，a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．∵t1＝4，t2＝16，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a4＝7.①当a3＝4，a7＝16时，a7a3＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.②当a3＝16，a7＝4时，a7a3＝q4＝14，此时a11＝a3q8＝16×142＝1.[思考1]在等比数列中，若已知三个数列成等差数列，为方便计算，可设为a－d，a，a＋d，那么，若已知三个数成等比数列，该如何设项？名师指津：可设为aq，a，aq.[思考2]若四个数成等比数列，又该如何设项？名师指津：可设为a，aq，aq2，aq3.[讲一讲]2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[尝试解答]法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，（a＋d）2a，由条件得a－d＋（a＋d）2a＝16，a＋（a＋d）＝12，解得a＝4d＝4，或a＝9，d＝－6.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.法二：设这四个数依次为2aq－a，aq，a，aq(q≠0)，由条件得2aq－a＋aq＝16，aq＋a＝12，解得q＝2，a＝8或q＝13，a＝3.当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16；当q＝13，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1.法三：设四个数依次为x，y，12－y，16－x.由条件得2y＝x＋（12－y），（12－y）2＝y（16－x），解得x＝0，y＝4或x＝15，y＝9.故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.在等比数列中，灵活地设项是非常重要的．一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a，aq，aq2或aq，a，aq，此时公比为q；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3(公比为q)，当四个数均为正(负)数时，可设为aq3，aq，aq，aq3(公比为q2)．练一练2．(1)在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A．－4或1712B．4或1712C．4D．1712解析：选B设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为a22.由a，a22，20成等差数列得2×a22＝a＋20.∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋a22＝4.当a＝5时，插入的两个数的和为a＋a22＝1712.(2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．解：法一：设三个数依次为a，aq，aq2，由题意知a·aq·aq2＝27，a2＋a2q2＋a2q4＝91，∴（aq）3＝27，a2（1＋q2＋q4）＝91，即aq＝3，a2（1＋q2＋q4）＝91.解得q21＋q2＋q4＝991，得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9或q2＝19，∴q＝±3或q＝±13，若q＝3，则a1＝1；若q＝－3，则a1＝－1；若q＝13，则a1＝9；若q＝－13，则a1＝－9.故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1.法二：设这三个数分别为aq，a，aq.aq·a·aq＝27，a2q2＋a2＋a2q2＝91⇒a＝3，a21q2＋1＋q2＝91，得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝19或q2＝9.∴q＝±13或q＝±3.故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1.讲一讲3．为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2017年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2018年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%(可参考数据lg2≈0.3)?[尝试解答]设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2017年年底绿洲面积为a1＝25，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2017年年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分，即an－8%·an；另一部分是新绿化的绿洲面积，即12%·bn.∴an＋1＝an－8%·an＋12%(1－an)＝45an＋325，即an＋1－35＝45an－35.又a1－35＝－15，∴an－35是以－15为首项，45为公比的等比数列，则an＋1＝35－15×45n.由an＋150%，得35－15×45n12，∴45n12，∴nlog4512＝lg21－3lg2≈3.则当n≥4时，不等式45n12恒成立．∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．练一练3．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210KB)．解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．答案：45————————[课堂归纳·感悟提升]———————1．本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导．2．要重点掌握等比数列的常用性质：(1)如果m＋n＝k＋l，则有aman＝akal；(2)如果m＋n＝2k，am·an＝a2k；(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；(4)在等比数列an中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列1an，an·bn，bnan，|an|仍是等比数列，且公比分别为1q1，q1q2，q2q1，|q1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….3．等比数列的单调性是本节课的一个易错点．等比数列an的通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)．当a1＞0，q＞1时，等比数列an是递增数列；当a1＜0，0＜q＜1时，等比数列an是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1时，等比数列an是递减数列；当a1＜0，q＞1时，等比数列an是递减数列；当q＜0时，等比数列an是摆动数列；当q＝1时，等比数列an是常数列．