2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第3节 等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5

[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P42～P45页，回答下列问题：(1)200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100＝？高斯用怎样的方法求出它的答案的？提示：方法是(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.(2)人们从“高斯的算法”受到启示，创造了“倒序相加法”，即设S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S＝50×101＝5050.你能利用此方法求1＋2＋3＋…＋n等于多少吗？(3)一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.如果数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，借助高斯的倒序相加法，你能求出其前n项和Sn吗？提示：Sn＝a1＋a2＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②2．归纳总结，核心必记已知条件首项a，与末项an首项a，与公差d公式Sn＝Sn＝n（a1＋an）2na1＋n（n－1）2d[问题思考](1)对于等差数列an，若已知首项、尾项和项数求和时，应运用哪一个求和公式？若已知首项、公差和项数求和时，应运用哪一个求和公式？提示：若已知首项、尾项和项数求和时，应运用公式Sn＝n（a1＋an）2；若已知首项、公差和项数求和时，应运用公式Sn＝na1＋n（n－1）2d．(2)等差数列an的前n项和公式可变形为Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n.那么我们说“等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数”，这种说法对吗？为什么？提示：不正确．当d≠0时，Sn是n的二次函数，且不含有常数项；当d＝0时，Sn＝na1，不是n的二次函数．[课前反思](1)等差数列an的前n项和公式是如何推导的？；(2)等差数列的两个求和公式是什么？各有什么特点？；(3)等差数列的前n项和是关于n的什么函数？有什么特点：；[思考]Sn＝n（a1＋an）2与Sn＝na1＋n（n－1）2d这两个公式共涉及a1，d，an，n，Sn五个量，其中a1，d，n为基本量，通过这两个公式及an＝a1＋(n－1)d，若已知上述五个量中的三个，能求出其余的两个量吗？名师指津：利用等差数列的前n项和公式及通项公式，已知等差数列中的三个量可求其他两个量，即“知三求二”．讲一讲1．在等差数列an中．(链接教材P44－例2)(1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.[尝试解答](1)由题意，得n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.(2)由已知，得S8＝8（a1＋a8）2＝8（4＋a8）2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.(3)由an＝a1＋（n－1）d，Sn＝na1＋n（n－1）2d，得a1＋2（n－1）＝11，na1＋n（n－1）2×2＝35，解方程组得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．练一练1．已知等差数列an中：(1)a1＝32，d＝－12，Sm＝－15，求m及am；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d；(3)S5＝24，求a2＋a4.解：(1)∵Sm＝m×32＋m（m－1）2×－12＝－15，整理得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)，∴am＝a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.(2)由Sn＝n（a1＋an）2＝n·（－512＋1）2＝－1022，得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.(3)法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋5×（5－1）2d＝24，得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝245.∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)×245＝485.法二：由S5＝5（a1＋a5）2＝24，得a1＋a5＝485.∴a2＋a4＝a1＋a5＝485.[思考]已知数列an的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列an的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？名师指津：对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N*)来表示．讲一讲2．已知数列an的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求an的通项公式；(2)判断an是否为等差数列．[尝试解答](1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列an的通项公式是an＝1，n＝1，－4n＋3，n≥2.(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴an不满足等差数列的定义，an不是等差数列．已知数列an的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列an的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2(如本讲)．练一练2．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.解：∵Sn＝n2－2n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，∴a2＋a3－a4＋a5＋a6＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4＝2a4＋2a4－a4＝3a4＝3×(2×4－3)＝15.[思考1]设an是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？名师指津：Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m，S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m，∴(S2m－Sm)－Sm＝(am＋1＋am＋2＋…＋a2m)－(a1＋a2＋…＋am)＝(am＋1－a1)＋(am＋2－a2)＋…＋(a2m－am)＝md＋md＋…＋md,\s\up6(,m个))＝m2d.同理(S3m－S2m)－(S2m－Sm)＝m2d.故Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，且公差为m2d．[思考2]设Sn、Tn分别为两个等差数列an和bn的前n项和，那么anbn与S2n－1T2n－1有怎样的关系？请证明之．名师指津：∵S2n－1＝（2n－1）（a1＋a2n－1）2＝（2n－1）2·2an＝(2n－1)an，同理T2n－1＝(2n－1)bn，∴anbn＝S2n－1T2n－1．讲一讲3．(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为()A．130B．170C．210D．260(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．(3)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a5b5＝________．[尝试解答](1)利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝S2n＋12n＋1，即132－120＝132＋1202n＋1，解得n＝10.法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a1，公差为d.依题意可列方程组（n＋1）a1＋n（n＋1）2×2d＝132，na2＋（n－1）n2×2d＝120，即（n＋1）（a1＋nd）＝132，n（a1＋nd）＝120，所以n＋1n＝132120，即n＝10.(3)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.[答案](1)C(2)10(3)53等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列an是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列Snn为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.练一练3．（1）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，设S12＝λS8，则λ＝()A.13B.12C．2D．3解析：选C∵Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，∴由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，∴2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，∴2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)，解得λ＝2.故选C.(2)等差数列an的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，求数列Snn前10项的和．解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝n（3＋2n＋1）2＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.[思考]等差数列an的前n项和Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n公式中，当d≠0时，能否类比二次函数求出Sn的最大值(或最小值)？Sn何时有最大值？何时有最小值？名师指津：可以．当d＜0时，有最大值；当d＞0时，有最小值．讲一讲4．已知等差数列5，427，347，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．[思路点拨]结合二次函数求值或结合数列的单调性求值．[尝试解答]法一：由题意知，等差数列5，427，347，…的公差为－57，所以Sn＝5n＋n（n－1）2－57＝－514