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第2课时等差数列的性质[思考1]如何用a1和d表示an和am?名师指津：an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d.名师指津：能．an＝am＋(n－m)d.[思考2]能用am和d表示an吗？如何表示？讲一讲1．(1)已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为()A．－12B.12C．－1D.1(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[答案](1)C[尝试解答](1)∵a3＝9，a9＝3，又a9－a3＝6d，∴3－9＝6d，即d＝－1.(2)∵a15＝8，a60＝20，∴20－8＝(60－15)d，即d＝415，∴a75＝a60＋15d＝20＋15×415＝24.在等差数列{an}中，已知a1，d，m，n，则d＝an－a1n－1＝an－amn－m(n1，m≠n)，从而有an＝am＋(n－m)d.在解决与等差数列的通项有关的问题时，巧妙利用此结论，可以简化问题的计算过程．练一练1．(1)已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则数列{an}的通项公式为________．解析：设{an}的公差为d，则a8－a4＝4d，∴d＝－1.∴an＝a8＋(n－8)d＝4＋(n－8)×(－1)＝12－n.答案：an＝12－n(2)若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么a1－a2b1－b2等于________．解析：∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，∴y－x＝3（a2－a1），y－x＝4（b2－b1），∴3（a2－a1）4（b2－b1）＝1，即a2－a1b2－b1＝43，故a1－a2b1－b2＝43.答案：43[思考1]在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq成立吗？为什么？名师指津：成立，证明：设等差数列_{an}的公差为d，am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq．[思考2]在等差数列{an}中，如果m＋n＝2r，那么am＋an＝2ar是否成立？反过来呢？名师指津：若m＋n＝2r(m，n，r∈N*)，则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(2r－2)·d＝2[a1＋(r－1)d]＝2ar，显然成立；在等差数列{an}中，若am＋an＝2ar，不一定有m＋n＝2r，如常数列．[思考3]已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则：(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？名师指津：(1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.[思考4]若{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，那么数列{pan±qbn}仍然是等差数列吗？若是等差数列，公差是多少？名师指津：是等差数列，且公差为pd1±qd2.讲一讲2．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．[尝试解答](1)法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝13，∴a4＋a8＝2a6＝23.法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝13.∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝23.(2)设公差为d，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5.又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.等差数列常用的性质(1)对称性：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…；(2)m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq；(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成等差数列；(4)an＝am＋(n－m)d；(5)若数列{an}成等差数列，则数列an＝pn＋q(p，q∈R)；(6)若数列{an}成等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)仍为等差数列；(7){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也是等差数列；(8){an}的公差为d，且d0⇔{an}为递增数列；d0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．练一练2．(1)等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根解析：选A∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，∵Δ＝62－4×10＝－40，∴方程无实根．(2)已知{an}、{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为()A．－6B．6C．0D．10解析：选B由于{an}、{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选B.讲一讲3．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[尝试解答]法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40，解得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＋（a1＋3d）＝26，（a1＋d）（a1＋2d）＝40，化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，（a－d）（a＋d）＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d.练一练3．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5，（a－2d）2＋（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＋（a＋2d）2＝859，整理得5a＝5，5a2＋10d2＝859.解得a＝1，d＝±23.d＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73；d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.讲一讲4．某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[尝试解答]由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋2200，解得n11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．(1)在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．练一练4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B.6766升C.4744升D.3733升解析：选B设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766，则a5＝a1＋4d＝6766，故第5节的容积为6766升．———————[课堂归纳·感悟提升]———————1．本节课的重点是等差数列性质的应用．2．要重点掌握等差数列的如下性质：(1)在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝am－anm－n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.3．等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．