2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列（二）课件 新人教

2.4等比数列第2课时等比数列(二)目标定位重点难点1.结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质．2．理解等比数列的性质．3．掌握等比数列的性质并能综合应用.重点：等比数列的性质．难点：等比数列性质的综合应用.性质1通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)性质2若{an}为等比数列且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝________性质3若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列qn－mam·an性质4在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…性质5在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a25，a2＝2，则a1＝()A．12B．22C．2D．2【答案】C【解析】由已知及等比数列的性质得a3a9＝a26＝2a25，∵q0，∴a6＝2a5，q＝a6a5＝2，a1＝a2q＝2.故选C．2．在等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a5＋a6＝48，则a9＋a10等于()A．16B．256C．768D．163【答案】C【解析】a5＋a6＝a1q4＋a1q5＝q4(a1＋a2)＝48，又a1＋a2＝3，∴q4＝16.则a9＋a10＝q8(a1＋a2)＝256×3＝768.故选C．3．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝158，a8a9＝－98，则1a7＋1a8＋1a9＋1a10＝________.【答案】－53【解析】∵1a7＋1a10＝a7＋a10a7a10，1a8＋1a9＝a8＋a9a8a9，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，∴1a7＋1a8＋1a9＋1a10＝a7＋a8＋a9＋a10a8a9＝158÷－98＝－53.4．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＋b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝15，a4＋b4＝35，则an＋bn＝______(n∈N*)．【答案】3n－1＋2n【解析】∵a1＋b1＝3，①a2＋b2＝a1＋d＋b1q＝7，②a3＋b3＝a1＋2d＋b1q2＝15，③a4＋b4＝a1＋3d＋b1q3＝35，④②－①得，4－d＝b1(q－1)，③－②得，8－d＝b1q(q－1)，④－③得，20－d＝b1q2(q－1)，解方程得d＝2，q＝3，b1＝1，a1＝2，∴an＋bn＝3n－1＋2n.【例1】在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124且公比为整数，求a10.【解题探究】利用若m＋n＝k＋l，则aman＝akal解题．等比数列性质的应用【解析】由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.解方程组a3a8＝－512，a3＋a8＝124，得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4.∴q＝5a8a3＝－2或－12.又q为整数，∴q＝－2，a3＝－4，a8＝128.∴a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512.【方法规律】在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，再求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．各项为正数的等比数列{an}中，a4·a7＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝()A．5B．10C．15D．20【答案】C【解析】由等比数列的性质，得a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝…＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log285＝15.故选C．【例2】已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为－128，求这四个数．【解题探究】求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差数列来设，也可以依据后三个数成等比数列来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．对称法设未知项【解析】设四个数为2aq－a，aq，a，aq，则由题意得a2q＝16，2aq－a·aq＝－128，解得a＝8，q＝4或a＝－8，q＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.【方法规律】1.根据四个数中前三个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a，q表示四个数，也可以据前三个成等差，用a，d表示四个数．2．注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第二个数为16x，则第一个数为32x－x，最后一个数为x316，再利用首尾两数之积为－128可列出关于x的方程x316·32x－x＝－128，解得x＝±8，则更简捷．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．【解析】设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设，得a－d＋a＋a＋d＝15，a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，解方程组得a＝5，d＝2或a＝5，d＝－10(舍去)．∴所求三数为3,5,7.【例3】(2019年上海期末)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数的年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？等比数列的实际应用参考数据：1.19≈2.361.00499≈1.0451.110≈2.601.004910≈1.0501.111≈2.851.004911≈1.055【解析】(1)今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10≈1.05b.1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，…，10年后的设备为a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)＝2.6a－x×1×1－1.1101－1.1＝2.6a－16x.由题设得2.6a－16x1.05b＝2·ab，解得x＝a32.(2)全部更换旧设备共需12a÷a32＝16(年)．【解析】设从2016年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，∴an＋1an＝1＋m%.∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴an＝a(1＋m%)n－1.∴到2017年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．【方法规律】数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2kB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210kB)．【答案】45【解析】由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．【示例】在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．利用等比中项性质时忽视符号判断【错解】设这个等比数列为{an}，其中a1＝1，a5＝4，插入的三项分别为a2，a3，a4.由题意，得a1，a3，a5也成等比数列，则a23＝a1a5＝1×4＝4，故a3＝±2，∴a2a3a4＝a33＝±8.【错因分析】该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项时，要注意正负号的选择．【正解】设这个等比数列为{an}，其中a1＝1，a5＝4，插入的三项分别为a2，a3，a4.由题意，得a1，a3，a5也成等比数列，则a23＝a1a5＝1×4＝4.又a3＝a1q2＞0，故a3＝2，∴a2a3a4＝a33＝8.【警示】在等比数列中，隔项的符号是一致的，故本题中a3＝2.1．若{an}是等比数列且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.特别地，当m＋n＝2p时，am·an＝a2p.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质可以减少运算量，提高解题速度．2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形，此外，解题时注意设而不求思想的运用．1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【答案】D【解析】由等比数列的性质得a3·a9＝a≠0，∴a3，a6，a9一定成等比数列．故选D．2．设由正数组成的等比数列公比q＝2且a1a2…a30＝230，则a3a6a9…a30等于()A．210B．215C．216D．220【答案】D【解析】∵正数组成的等比数列公比q＝2且a1a2…a30＝230，∴a301·q1＋2＋3＋…＋29＝a301q435＝a3012435＝230，∴a301＝2－405，∴a101＝2－135，∴a3a6a9…a30＝a101·q2＋5＋8＋…＋29＝a1012155＝2－135·2155＝220.故选D．3．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4且所有项的积为64，则该数列共有()A．6项B．8项C．10项D．12项【答案】D【解析】设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.∴a31q3＝2，a31q3n－6＝4.两式相乘得a61q3(n－1)＝8，即a21qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64.∴an1qnn－12＝64，即(a21qn－1)n＝642，∴2n＝642，∴n＝12.故选D．4．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25且a1，a11，a13成等比数列，则a1＋a4＋a7＋…＋a28＝________.【答案】－20【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a1，a11，a13成等比数列，∴(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，化为d(2a1＋25d)＝0.∵d≠0，∴2×25＋25d＝0，解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∴a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31，可知此数列是以25为首项，－6为公差的等差数列．∴Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a28＝1025－292＝－20.