2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5

2.3等差数列的前n项和[目标导航]课标要求1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.4.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关问题.素养达成通过对等差数列前n项和的学习,培养学生观察、归纳和逻辑推理的能力.新知导学课堂探究新知导学·素养养成1.数列{an}前n项和的定义及表示一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=.a1+a2+a3+…+an思考1:对于数列{an},关系式an=Sn-Sn-1一定成立吗?答案:不一定成立,要注意在n≥2时,an=Sn-Sn-1才成立,即an=111,2.nnSnSSn2.等差数列的前n项和公式12nnaa112nndna已知量首项、末项和项数首项、公差与项数求和公式Sn=.Sn=.思考2:等差数列{an}的前n项和的两个公式涉及几个量?至少要知道几个量才能求解?答案:等差数列{an}的前n项和的2个公式涉及a1,an,Sn,n,d共5个量,至少要知道其中3个量才能求解.在运用等差数列的前n项和公式求和时,一般地,若已知首项a1及末项an用公式Sn=12nnaa较简便;若已知首项a1及公差d用公式Sn=na1+12nnd较好.3.等差数列前n项和的性质记等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项之和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构成公差为n2d的等差数列.名师点津(1)等差数列前n项和的函数特点对于等差数列{an},如果a1,d是确定的,前n项和Sn=na1+12nnd=2dn2+(a1-2d)n.设A=2d,B=a1-2d,上式可写成Sn=An2+Bn.当A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次函数式(常数项为0).数列S1,S2,S3,…,Sn的图象是抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点.(2)等差数列奇偶项和的性质若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,SS奇偶=1nnaa;②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=an,SS奇偶=1nn,S2n-1=(2n-1)an.课堂探究·素养提升题型一等差数列前n项和的基本运算解:(1)因为Sn=n·32+12nn·(-12)=-15,整理,得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去).所以a12=32+(12-1)×(-12)=-4.[例1](2019·山东烟台检测)已知等差数列{an}中,(1)a1=32,d=-12,Sn=-15,求n和an;(2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d;解:(2)由Sn=12nnaa=15122n=-1022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.(3)S5=24,求a2+a4.解:(3)法一设等差数列的首项为a1,公差为d,则S5=5a1+5512d=24,得5a1+10d=24,即a1+2d=245.所以a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2×245=485.法二由S5=1552aa=24,得a1+a5=485,则a2+a4=a1+a5=485.方法技巧一般地,等差数列的五个基本量a1,an,d,n,Sn,知道其中任意三个量可建立方程组,求出另外两个量,即“知三求二”问题,若能巧妙地利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便.解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则1193,68,adad解得118,3.ad所以63=Sn=18n-32n(n-1).解得n=6或n=7.即时训练1-1:(1)在等差数列{an}中,a4=9,a9=-6,若Sn=63,求n的值;解:(2)设{an}的公差为d,则11216,20192020,2adad解得a1=20,d=-2,所以20n+12nn×(-2)=110,即n2-21n+110=0,所以n=10或n=11.(2)在等差数列{an}中,已知a3=16,S20=20,若Sn=110,求n.解:(1)①法一由已知条件得510149121358,21150,aaadaaad解得13,4.ad所以S10=10a1+101012d=10×3+1092×4=210.[备用例1](1)(2019·江西新余检测)在等差数列{an}中;①已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;法二由已知条件得51011049110458,250,aaaadaaaad所以a1+a10=42,所以S10=110102aa=5×42=210.法三由(a5+a10)-(a4+a9)=2d=58-50=8,得d=4.由a4+a9=50,得2a1+11d=50,所以a1=3.故S10=10×3+1092×4=210.解:②S7=1772aa=7a4=42,所以a4=6.所以Sn=12nnaa=432nnaa=6452n=510.所以n=20.②已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.②由①可知an=3-2n,所以Sn=1322nn=2n-n2,由Sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.(2)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.①求数列{an}的通项公式;②若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.解:(2)①设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.题型二等差数列前n项和的最值问题[例2]已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0.(1)求数列{an}的通项公式;规范解答:(1)由a1=9,a4+a7=0,得a1+3d+a1+6d=0,………………………………2分解得d=-2,……………………………………4分所以an=a1+(n-1)·d=11-2n.………………6分规范解答:(2)法一a1=9,d=-2,Sn=9n+12nn·(-2)………8分=-n2+10n=-(n-5)2+25………………………………………………10分所以当n=5时,Sn取得最大值.……………………………………12分法二由(1)知a1=9,d=-20,所以{an}是递减数列.……………8分令an≥0,则11-2n≥0,解得n≤112.………………………………10分因为n∈N*,所以n≤5时,an0,n≥6时,an0.所以S5最大.…………………………………………………………12分(2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值.方法技巧求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略(1)将Sn=na1+12nnd=2dn2+(a1-2d)n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决.(2)邻项变号法:当a10,d0时,满足10,0nnaa的项数n使Sn取最大值,当a10,d0时,满足10,0nnaa的项数n使Sn取最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由已知条件,得111,45,adad解得a1=3,d=-2.所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.即时训练2-1:已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{an}的通项an;(2)求{an}前n项和Sn的最大值.(2)Sn=na1+12nnd=-n2+4n=4-(n-2)2.所以n=2时,Sn最大,且最大值为4.[备用例2](1)(2019·福建泉州检测)在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值;解:(1)法一由S17=S9,得25×17+172×(17-1)d=25×9+92×(9-1)d,解得d=-2,所以Sn=25n+12nn×(-2)=-(n-13)2+169,由二次函数的性质知,当n=13时,Sn有最大值169.法二同法一先求出d=-2,因为a1=250,由125210,2520,nnanan得113,2112.2nn所以当n=13时,Sn有最大值,最大值S13=113132aa=252524132=169.法三同法一先求出d=-2.由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.因为d=-20,a10,所以a130,a140,故n=13时,Sn有最大值,最大值S13=113132aa=252524132=169.法四同法一先求出d=-2.则Sn的图象如图所示,由S17=S9知图象对称轴为n=9172=13,所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值S13=113132aa=252524132=169.解:(2)①设{an}的首项、公差分别为a1,d.则11918,23,adad解得a1=-9,d=3,所以an=3n-12.(2)在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.①求数列{an}的通项公式;②求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.②Sn=12nnaa=12(3n2-21n)=32(n-72)2-1478,所以当n=3或4时,前n项的和取得最小值为-18.题型三等差数列前n项和的性质及应用[例3](1)在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20=.解析:(1)由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b3=5,b4=7,b5=9,即a17+a18+a19+a20=b5=9.答案:(1)9(2)有一个共有100项的等差数列,其奇数项与偶数项之和分别为100和200,则公差d=.解析:(2)法一S偶-S奇=50d=100,所以d=2.法二设等差数列的公差为d,则奇数项、偶数项分别构成等差数列,公差为2d.由题意知21001995025==200==10002aaaaSS偶奇，，即21001998,4,aaaa①②①-②得2d=4即d=2.答案:(2)2方法技巧等差数列前n项和性质小结:(1)等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.(2)等差数列{an}中,公差为d:①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;S偶∶S奇=an+1∶an.②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1;S偶∶S奇=n∶(n+1).(4)设Sn,Sn′分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,则an∶bn=S2n-1∶S2n-1′.(3)Sn=12nnaa=12mnmnaa.即时训练3-1:等差数列{an}的前5项和为15,前10项和为20,则a21+a22+a23+a24+a25=.解析:在等差数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15,S25-S20成等差数列,而a21+a22+a23+a24+a25=S25-S20,故a21+a22+a23+a24+a25=S5+(5-1)×(S10-S5-S5)=15+4×(20-15-15)=-25.答案:-25[备用例3]已知数列{an}为等差数列,其前12