2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．等差数列{an}中，S10＝4S5，则a1d等于()A.12B．2C.14D．4解析由题意得：10a1＋12×10×9d＝45a1＋12×5×4d，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴a1d＝12.2．等差数列{an}的通项公式an＝1－2n，其前n项和为Sn，则数列Snn的前11项和为()A．－45B．－50C．－55D．－66解析等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋an2，∴Snn＝a1＋an2＝1－2＋1－2n2＝－n.∴数列Snn的前11项的和为－(1＋2＋3＋…＋11)＝－66.3．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为()A．0B．4475C．8950D．10000解析设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝100c1＋c1002＝100×40＋1392＝8950.4．若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项解析a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以3(a1＋an)＝180，即a1＋an＝60.由Sn＝390，知na1＋an2＝390，所以n×602＝390，解得n＝13.二、填空题5．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________．18解析设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得：S5＝5a1＋5×42×3＝60，解得a1＝6.则a5＝a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18.∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.故为18.6．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.3n解析a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，当n≥2时，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得(2n－1)·an＝(n－1)3n＋1－(n－2)3n，即(2n－1)·an＝(2n－1)3n，当n＝1时，a1＝3，符合上式，∴an＝3n.7．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.66解析当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋2＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，所以前两项是负数，且a2＝－1.故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝S10＋2(|a1|＋|a2|)＝102－4×10＋2＋2×(1＋1)＝66.三、解答题8．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26.解得a1＝3，d＝2.∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.即an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，∴bn＝1a2n－1＝12n＋12－1＝14×1nn＋1＝14×1n－1n＋1.∴Tn＝14×1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝14×1－1n＋1＝n4n＋1，即数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.9．设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f12017＋f22017＋…＋f20162017，求S的值．解∵f(x)＝4x4x＋2，∴f(1－x)＝41－x41－x＋2＝22＋4x.∴f(x)＋f(1－x)＝4x4x＋2＋22＋4x＝1.S＝f12017＋f22017＋…＋f20162017，①S＝f20162017＋f20152017＋…＋f12017，②①＋②，得2S＝f12017＋f20162017＋f22017＋f20152017＋…＋f20162017＋f12017＝2016.∴S＝20162＝1008.10．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝Snn＋c，求非零常数c.解(1){an}为等差数列，∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根，又公差d0，∴a3a4，∴a3＝9，a4＝13.∴a1＋2d＝9，a1＋3d＝13，∴a1＝1，d＝4，∴an＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝n·1＋nn－12·4＝2n2－n，∴bn＝Snn＋c＝2n2－nn＋c，∴b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c，∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，∴c＝－12(c＝0舍去)．经验证，bn＝2n符合题意．B级：能力提升练1．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．29解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.当n＝19时，S19＝190；当n＝20时，S20＝210200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．2．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)证明：由题意，得an＝8－2n.∵an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，∴数列{an}为等差数列．(2)由题意，得bn＝|8－2n|.∵b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，∴此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起是以2为首项，2为公差的等差数列．∴当n≤4时，Sn＝6n＋nn－12×(－2)＝－n2＋7n.当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋n－5n－42×2＝12＋n2－7n＋12＝n2－7n＋24.∴Sn＝－n2＋7nn≤4，n∈N*，n2－7n＋24n≥5，n∈N*.