2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列 第三课时 等比数列的前n项和课件 苏

第三课时等比数列的前n项和预习课本P55～60，思考并完成以下问题(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？(4)等比数列前n项和的性质有哪些？[新知初探]1．等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式Sn＝na1q＝1，a11－qn1－qq≠1Sn＝na1q＝1，a1－anq1－qq≠1[点睛]在应用公式求和时，应注意到Sn＝a11－qn1－q的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.2．等比数列前n项和的性质(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，均不为0)．(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝a11－qn1－q来求()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na()(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列()×√√解析：(1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝a11－qn1－q(q≠0且q≠1)变形为：Sn＝a11－q－a11－qqn(q≠0且q≠1)，若令a＝a11－q，则和式可变形为Sn＝a－aqn.2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()A．4B．－4C．2D．－2解析：由S5＝a1[1－－25]1－－2＝44，得a1＝4.答案：A3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a2等于()A．2B．4C.152D.172解析：S4a2＝a11－q41－q×1a1q＝1－q41－qq＝152.答案：C4．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项的和为________．解析：a5＝a1q4＝16，所以q＝2，即S7＝a11－q71－q＝127，答案：127等比数列前n项和公式的基本运算[典例]在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5；(3)若q＝2，S4＝1，求S8.[解](1)法一：由Sn＝a11－qn1－q，an＝a1qn－1以及已知条件得189＝a11－2n1－2，96＝a1·2n－1，∴a1·2n＝192，∴2n＝192a1.∴189＝a1(2n－1)＝a1192a1－1，∴a1＝3.又∵2n－1＝963＝32，∴n＝6.法二：由公式Sn＝a1－anq1－q及条件得189＝a1－96×21－2，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，即a11＋q2＝10，a1q31＋q2＝54.①②∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即q＝12，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×123＝1，S5＝a11－q51－q＝8×1－1251－12＝312.(3)设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴a11－241－2＝1，即a1＝115，∴S8＝a11－q81－q＝1151－281－2＝17.(1)熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，运用方程的思想，求出基本量a1和q，然后求出其它量，是解这类题的常用方法．(2)已知an时，用Sn＝a1－anq1－q较简便，而Sn＝a11－qn1－q在将已知量表示为最基本元素a1和q的表达式中发挥着重要作用．[活学活用]1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于________．解析：由3an＋1＋an＝0得an＋1＝－13an，所以{an}是公比为－13的等比数列，由a2＝－43得a1＝4，所以由等比数列前n项和公式得S10＝3(1－3－10)．答案：3(1－3－10)2．设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．解：由题设知a1≠0，则a1q2＝2，①a11－q41－q＝5×a11－q21－q，②由②得1－q4＝5(1－q2)，即(q2－4)(q2－1)＝0.∵q1，∴q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，此时an＝2×(－1)n－1，当q＝－2时，代入①得a1＝12，此时an＝12×(－2)n－1.综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，an＝12×(－2)n－1.等比数列前n项和的性质及应用[典例]等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝________.[解析][法一公式法]设公比为q，由已知易知q≠1，由a11－qn1－q＝48，a11－q2n1－q＝60⇒qn＝14，a11－q＝64，所以S3n＝a11－q3n1－q＝a11－q·[1－(qn)3]＝64×1－164＝63.[法二性质法]由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)⇒S3n＝63.[答案]63运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件．否则会出现失误．如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0.[活学活用]1．若等比数列{an}的公比为13，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知：YX＝q＝13，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.答案：802．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝S偶S奇＝13.又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a31·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×13n－1.等比数列前n项和的实际应用[典例]从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业，根据计划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)到第6年时旅游业收入能否超过投入？[解](1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×1－15万元，…，第n年投入为800×1－15n－1万元．所以n年内的总投入an＝800＋800×1－15＋…＋800×1－15n－1＝8001＋45＋452＋…＋45n－1＝40001－45n.第一年旅游业收入为400万元，第二年的旅游业收入为400×1＋14万元，…，第n年的旅游业收入为400×1＋14n－1万元．所以n年内的旅游业总收入bn＝400＋400×1＋14＋…＋400×1＋14n－1＝4001＋54＋…＋54n－1＝160054n－1.(2)a6＝40001－456，b6＝1600546－1.因为a6－b6＝4000－4000456－1600546＋1600＝5600－4000456－16005460所以，到第6年，旅游业收入超过总投入．对于有些数列应用题，解题的关键在于认真阅读题意，抓住关键，建立相应的等差、等比数列的模型．另外要注意分清求的是数列的通项还是前n项和．[活学活用]在一次人才招聘会上，A，B两家公司分别开出了工资标准：A公司B公司第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元第一年月工资为2000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5%大学生王明被A，B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？解：如下表所示.A公司B公司工资标准第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元第一年月工资为2000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5%第n年月工资为an元第n年月工资为bn元王明的选择过程{an}是首项为1500，公差为230的等差数列{bn}是首项为2000，公比为1＋5%的等比数列A公司B公司an＝230n＋1270bn＝2000(1＋5%)n－1王明的选择过程S10＝12(a1＋a2＋…＋a10)＝1210×1500＋10×10－12×230＝304200(元)T10＝12(b1＋b2＋…＋b10)＝12×20001－1.05101－1.05≈301869(元)结论显然S10T10，故王明选择了A公司