2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念与通项公式课

2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式[目标导航]课标要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式及运用.3.掌握等差数列的判定方法.素养达成通过对等差数列的概念与通项公式的学习,培养学生数学抽象、直观想象及数学运算能力.新知导学课堂探究1.等差数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第项起,每一项与它的的差等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个叫做等差数列的,通常用字母表示.(2)符号语言:an+1-an=d(d为常数,n∈N*).新知导学·素养养成2前一项同一个常数常数公差d思考1:如果一个数列从第2项起,相邻两项的差是同一个常数,这个数列是等差数列吗?答案:不一定.相邻两项的差可能是后一项减去前一项,也可能是前一项减去后一项,如数列2,1,2,3,4,5相邻两项的差是同一个常数1,但此数列不是等差数列.思考2:若把等差数列概念中的“同一个”去掉,那么这个数列还是等差数列吗?答案:若这些常数相等,这个数列是等差数列,若这些常数不相等,这个数列不是等差数列.2.等差中项如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.它们之间的关系式是.3.等差数列的通项公式以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式an=.a+b=2Aa1+(n-1)d思考3:等差数列与一次函数有何关系?答案:等差数列与一次函数的关系等差数列一次函数解析式an=kn+b(n∈N*)f(x)=kx+b(k≠0)不同点定义域为N*,图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点定义域为R,图象为一条直线相同点通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式,是最简单的,也是最基本的数列和函数名师点津(1)通项公式法判定等差数列①条件:数列{an}的通项公式满足函数关系式an=kn+b(k,b是常数).②结论:{an}是等差数列.③应用范围:通常用于选择、填空题.(2)如果an-an-1=an+1-an(n≥2),则该数列{an}为等差数列,反之亦然.所以2an=an-1+an+1(n≥2),则数列{an}为等差数列,这是判断一个数列是否为等差数列的一种方法.课堂探究·素养提升题型一等差数列的基本运算[例1]等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31.(1)求a20;(2)85是不是该数列中的项?若不是说明原因,若是,是第几项?解:(1)由an=a1+(n-1)d得,11410,1131,adad解得12,3.ad所以a20=-2+19×3=55.(2)因为a1=-2,d=3,所以an=-2+(n-1)×3=3n-5,令3n-5=85,所以n=30.所以85是该数列的第30项.方法技巧在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.即时训练1-1:已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?解:设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,由已知1115133,611217,adad解得123,4.ad所以an=-23+(n-1)×4=4n-27,令an=153,即4n-27=153,解得n=45∈N*,所以153是所给数列的第45项.[备用例1](1)在等差数列{an}中,已知a4=70,a21=-100.①求通项公式an;②{an}中有多少项属于区间[-18,18]?解:(1)①由题意,得an=a1+(n-1)d.所以41211=41,211,aadaad得a1=100,d=-10.所以通项公式an=100-10(n-1)=-10n+110.②由题意得-18≤-10n+110≤18,解得9.2≤n≤12.8,因为n∈N*,所以n=10,11,12.所以属于区间[-18,18]的项有3项,它们是a10,a11,a12.(2)①若{an}为等差数列,a8=36,a12=56,求a80;②若{an}为等差数列,a2=12,an=-20,d=-2,求n.解:(2)①设an=a1+(n-1)d.由a8=36,a12=56得,11736,1156,adad解得11,5.ad所以an=a1+(n-1)×5=5n-4,所以a80=5×80-4=396.②a1=a2-d=12+2=14,所以an=14+(n-1)×(-2)=-20,所以n=18.题型二等差数列的判定[例2](2019·广东揭阳模拟)已知数列{an}满足a1=4,an=4-14na(n1,n∈N*),记bn=12na.试判断数列{bn}是否为等差数列?说明理由.规范解答:数列{bn}是等差数列.……………………………2分理由如下:因为bn+1-bn=112na-12na……………………4分=1442na-12na=222nnaa=12,……………………8分又b1=112a=12,…………………………………………10分所以数列{bn}是以12为首项,12为公差的等差数列.……12分方法技巧等差数列的判定方法有以下三种:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列;(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列;(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.即时训练2-1:已知数列{an},满足a1=2,an+1=22nnaa.(1)数列{1na}是否为等差数列?说明理由;解:(1)数列{1na}是等差数列,理由如下:因为a1=2,an+1=22nnaa,所以11na=22nnaa=12+1na.所以11na-1na=12.即{1na}是首项为11a=12,公差为d=12的等差数列.(2)求an.解:(2)由上述可知1na=11a+(n-1)d=2n,所以an=2n.[备用例2](1)(2019·河南开封检测)数列{an}满足递推关系an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),a1=5,则使得数列{3nnam}为等差数列的实数m的值为.(1)解析:由题设知3nnam-113nnam=13313nnnam-113nnam=3123nnm=1-123nm为常数,则1+2m=0,故m=-12.答案:-12(2)(2019·浙江金华检测)数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*).①当a2=-1时,求λ及a3;②是否存在λ的值,使数列{an}为等差数列?若存在,求其通项公式;若不存在,说明理由.(2)解:①因为a1=2,a2=(λ-3)a1+2=-1,所以λ=32.所以a3=-32a2+22=32+4=112.②因为a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,所以a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16.若数列{an}为等差数列,则a1+a3=2a2,即λ2-7λ+13=0.因为Δ=49-4×130,所以方程无实数解.所以λ值不存在.即不存在λ的值使{an}成等差数列.解:设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d.依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以将a=2代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=±4,故三个数为-2,2,6或6,2,-2.题型三等差中项的应用[例3]三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数.一题多变:若将题中的三个数改为四个数成等差数列,且四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个数列.解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,由题意可知,3326,40,adadadadadad即22426,40,aad解得13232ad或13,23,2ad故所求数列为2,5,8,11或11,8,5,2.方法技巧三个数或四个数成等差数列的设法:当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,方法一:可设出首项a1和公差d,列方程组求解.方法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.[备用例3](1)已知1a,1b,1c成等差数列,并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列;证明:(1)因为1a,1b,1c成等差数列,所以2b=1a+1c,所以2b=acac,即2ac=b(a+c).(a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c)2.因为a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a+c)(a+c-2b)]=lg(a-c)2,即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c),所以lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.(2)(2019·山东济南月考)已知正数a,b,c成等差数列,且公差d≠0,求证:1a,1b,1c不可能成等差数列.证明:(2)假设1a,1b,1c成等差数列,则2b=1a+1c,所以2ac=b(a+c).因为a,b,c成等差数列.所以2b=a+c.所以2ac=22ac,所以(a-c)2=0.所以a=c.又2b=a+c,所以a=b=c.这与a,b,c成等差数列且公差d≠0矛盾.故1a,1b,1c不可能成等差数列.题型四易错辨析——忽略隐含条件致误[例4]一个等差数列的首项为125,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是()(A)(875,+∞)(B)(-∞,325)(C)(875,325)(D)(875,325]错解一:由a101,得125+9d1,解得d875.故选A.错解二:由1091,1aa得191,25181,25dd解得875d325.故选C.纠错:在解决本题时,必须深刻理解“从第10项起开始比1大”的含义.尤其是“开始”这个词,这不仅表明“a101”,而且还隐含了“a9≤1”这一条件,所以两个错解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件.正解:由题意可得1091,1,aa即191,2518125dd所以875d≤325.故选D.学霸经验分享区1.对于与等差数列有关的计算问题,一定要记准等差数列通项公式及变形公式.2.等差数列的判定问题一定要掌握其判定方法:定义法、通项公式法及等差中项法.课堂达标1.已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an等于()(A)4-2n(B)2n-4(C)6-2n(D)2n-6C解析:an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=-2n+6.故选C.解析:设方程两根为x1,x2,则x1+x2=-6,所以x1,x2的等差中项为A=122xx=-3.故选D.2.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为()(A)1(B)6(C)-6(D)-3D3.若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有()①{|an|}②{an+1-an}③{pan+q}(p,q为常数)④{2an+n}(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个C解析:-1,1,3成等差数列,取绝对值后,1,1,3不成等差数列,①错误.若{an}是等差数列,利用等差数列的定义,{an+1-an}为常数列,故②正确.若{an}的公差为d,则pan+q-(pan-1+q)=p(an-an-1)=pd为常数,故{pan+q}为等差数列,故③正确.(2an+n)-(2a