2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第三课时 等差数列的前n项和课件 苏

第三课时等差数列的前n项和预习课本P42～46，思考并完成以下问题(1)等差数列前n项和的公式是什么？(2)如何推导等差数列的前n项和？[新知初探]等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋an2na1＋nn－12d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和()(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式()(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1()√××解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于()A．nB．n(n＋1)C．n(n－1)D.nn＋12解析：因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12，故选D.答案：D3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()A．16B．24C．36D．48解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋4×32d＝20，即4×12＋4×32d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.答案：D4．在等差数列{an}中，a4＝10，a10＝－2.若Sn＝60，则n＝________.解析：设{an}的公差为d，则a1＋3d＝10，a1＋9d＝－2，∴a1＝16，d＝－2.∴Sn＝n×16＋nn－12×(－2)＝60，整理得n2－17n＋60＝0，∴n＝5或n＝12.答案：5或12等差数列的前n项和的有关计算[典例]已知等差数列{an}．(1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解](1)∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.又Sn＝na1＋nn－12d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝na1＋an2结合使用．(3)一些常见数列的前n项和公式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12.1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.[活学活用]等差数列{an}中，a10＝30，S20＝620.(1)求an；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)设{an}的公差为d，则由已知得a1＋9d＝30，20a1＋20×192d＝620，解得a1＝12，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋10.(2)由(1)知，Sn＝a1＋an·n2＝12＋2n＋102·n＝n2＋11n.∴由n2＋11n＝242，得n＝11或n＝－22(舍)．故n＝11.等差数列的前n项和性质[典例](1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为________．(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a5b5＝________.[解析](1)利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.(2)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝S2n＋12n＋1，即132－120＝132＋1202n＋1，解得n＝10.(3)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.[答案](1)210(2)10(3)53等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列Snn为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.[活学活用]1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，设S12＝λS8，则λ＝()A.13B.12C．2D．3解析：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，∴由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，∴2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，∴2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)，解得λ＝2.故选C.答案：C2．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.答案：53．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为________．解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝n3＋2n＋12＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75与等差数列前n项和有关的问题题点一：求等差数列前n项和的最值解：法一：(利用求和公式法)由题意知：S9＝9a1＋9×82d，S17＝17a1＋17×162d.∵a1＝25，S9＝S17，即9a1＋36d＝17a1＋8×17d，解得d＝－2，∴Sn＝25n＋nn－12×(－2)＝－n2＋26n，即Sn＝－(n－13)2＋169，∴当n＝13时，Sn最大，最大值为S13＝169.1．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，求Sn的最大值．法二：(正负项分界法)因为a1＝25＞0，S9＝S17，所以数列{an}是递减等差数列，若使前n项和最大，只需解an≥0，an＋1≤0即可得出n.∵a1＝25，S9＝S17，∴9×25＋9×82d＝17×25＋17×162d，解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)(－2)＝－2n＋27，∴－2n＋27≥0，－n＋＋27≤0⇒n≤13.5，n≥12.5，又n∈N*，∴n＝13.即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13＝169.题点二：求等差数列前n项绝对值的和2．在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．解：等差数列{an}的公差为：d＝a17－a117－1＝－12－－6016＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63.又因为an0时，3n－630，n21，所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．设Sn和Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．当0n≤20时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋3nn－12＝－32n2＋1232n；当n20时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋3nn－12－2×－60×20＋20×192×3＝32n2－1232n＋1260.所以数列{|an|}的前n项和为：Sn′＝－32n2＋1232n，n≤20，32n2－1232n＋1260，n20.题点三：利用Sn与an关系求an3．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－23n(n∈N*)．试判断数列{an}是否是等差数列．解：当n＝1时，a1＝S1＝－22；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－24.此时a1＝－22适合an＝2n－24，所以an＝2n－24.又∵an＋1－an＝2(n＋1)－24－2n＋24＝2(常数)，所以数列{an}是首项为－22，公差为2的等差数列．1．等差数列前n项和的最值问题的三种解法(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值．可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．(2)利用Sn：由Sn＝12dn2＋a1－12dn二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数图象的对称性．2．求数列{|an|}的前n项和等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}，若原数列{an}中既有正项又有负项，则{|an|}不再是等差数列，求和的关键是找到数列{an}中正、负项的分界点处n的值，再分段求和．3．由an与Sn的关系求an的解题步骤第一步：n＝1时，计算a1＝S1；第二步：n≥2时，计算an＝Sn－Sn－1；第三步：检验a1＝S1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)．若a1适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)时，通项公式可合并成一个式子，即an＝Sn－Sn－1；否则，通项公式应写成分段函数的形式，即an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.