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第二课时等差数列的性质及简单应用[目标导航]课标要求1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.素养达成通过对等差数列性质的学习,培养学生观察、归纳能力以及培养学生直观想象的能力.新知导学课堂探究等差数列的常见性质新知导学·素养养成(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=am+(nm);(2)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=…=am+;(3)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q=2k⇒;(4)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;(n-m)dan-m+1am+an=ap+aq=2ak(5)若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有数列结论{c+an}公差为的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为的等差数列(k为常数,k∈N*){pan+qbn}公差为的等差数列(p,q为常数)dcd2dpd+qd′思考:等差数列的公差d与等差数列单调性有何关系?答案:公差d与等差数列单调性的关系:①当d0时,{an}是递增数列;②当d0时,{an}是递减数列;③当d=0时,{an}是常数列,不是递增数列,也不是递减数列.名师点津等差数列的“子数列”的性质若数列{an}是公差为d的等差数列,则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;nka(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列;(3)若{kn}成等差数列,则{}也是等差数列.课堂探究·素养提升题型一等差数列性质的应用[例1](1)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列的通项公式;解:(1)因为a1+a7=2a4=a2+a6,所以a1+a4+a7=3a4=15,所以a4=5,a2+a6=10,且a2a6=9.则a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根,所以261,9,aa或269,1.aa若a2=1,a6=9,则d=2,所以an=2n-3;若a2=9,a6=1,则d=-2,所以an=13-2n.故an=2n-3或an=13-2n.解:(2)法一因为a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450.所以a5=90,故a2+a8=2a5=180.法二因为{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d,所以a3+a4+…+a7=a1+2d+a1+3d+…+a1+6d=5a1+20d,即5a1+20d=450,所以a1+4d=90,故a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=180.(2)设{an}为等差数列,若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8.方法技巧(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而解决问题,是处理等差数列问题的最基本方法.(2)巧妙地利用等差数列的性质,可以大大简化解题过程.(3)通项公式的变形形式an=am+(n-m)d(m,n∈N*),它又可变形为d=,应注意把握,并学会应用.mnaamn(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17.解252552,17,aaaa得25413aa或2513,4.aa所以d=5252aa=1343=3或d=5252aa=4133=-3.即时训练1-1:在等差数列{an}中,(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.解:(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,所以a13=12.[例2]已知正数数列{an}和{bn}满足:对任意n(n∈N*),an,bn,an+1成等差数列,且an+1=1nnbb.(1)求证:数列{nb}是等差数列;题型二等差数列的综合应用规范解答:(1)由题意知,an0,bn0,且2bn=an+an+1,又因为an=1nnbb(n≥2),所以2bn=1nnbb+1nnbb.……………………………………………3分因为bn0,所以2nb=1nb+1nb,故数列{nb}为等差数列.……5分规范解答:(2)由a1=1,a2=2得b1=122aa=32.又由21na=bn·bn+1得22a=b1·b2,所以b2=221ab=83.…………………………………6分所以1b=32=62,2b=83=263.所以数列{nb}的公差d=2b-1b=66.………………………………………8分所以nb=62+(n-1)·66=66(n+2),所以bn=16(n+2)2,……………………10分所以2na=bn-1·bn=16(n+1)2·16(n+2)2,所以an=16(n+1)(n+2).…………………12分(2)设a1=1,a2=2,求{an}和{bn}的通项公式.方法技巧解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.解:(1)由a1+a2+a3=12,所以3a2=12,所以a2=4.又因为a8=16,所以d=8282aa=1646=2.所以an=a2+(n-2)d=4+2(n-2)=2n.即时训练2-1:已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.解:(2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.当n1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.所以{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.[备用例1](1)已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则这两个数列中有多少个相同的项?解:(1)法一设等差数列5,8,11,…为{an},3,7,11,…为{bm},则an=3n+2,bm=4m-1(m,n∈N*,且1≤m≤100,1≤n≤100).令an=bm,即3n+2=4m-1,所以n=43m-1.由m,n∈N*,知m应为3的倍数,设m=3t(t∈N*),则n=4t-1.所以141100,13100.tt即1101,241100.33tt所以12≤t≤1014.又因为t∈N*,所以1≤t≤25,且t∈N*.所以这两个数列中共有25个相同的项.法二设由两数列的公共项组成的新数列为{cn},则{cn}是首项为11的等差数列,而这两个数列的公差分别为3和4,则{cn}的公差为d=3×4=12.所以cn=11+12(n-1)=12n-1.数列5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别为302与399,所以cn≤302,即n≤25.25,又n∈N*,所以原来的两个数列有25个相同的项.(2)(2019·山东临沂高二检测)已知数列{an}是等差数列,cn=2na-21na(n∈N*).①判断数列{cn}是否为等差数列,并说明理由;解:(2)①数列{cn}是等差数列,理由:设数列{an}的公差为d,则cn+1-cn=(21na-22na)-(2na-21na)=221na-(an+1-d)2-(an+1+d)2=-2d2,所以数列{cn}是以-2d2为公差的等差数列.②如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,试求数列{an}的公差d及通项公式.解:②因为a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,所以两式相减得13d=-13,所以d=-1.因为a1+a3+…+a25=130,所以13a13=130⇒a13=10⇒a1+12d=a1-12=10,所以a1=22,所以an=22+(n-1)×(-1)=23-n.题型三等差数列的实际应用[例3]有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台则所买各台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少?解:设某单位需购买影碟机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元时,售价依台数成等差数列{an},则an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an≥440,800-20n≥440,得n≤18.当购买台数小于18时,每台售价为(800-20n)元,在台数大于或等于18时,每台售价440元.到乙商场购买,每台售价为800×75%=600(元).又(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以,当n10时,600n(800-20n)n;当n=10时,600n=(800-20n)n;当10n18时,(800-20n)n600n;当n≥18时,440n600n.所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.方法技巧(1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次呈直线上升或递减,则可考虑利用等差数列方法解决.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.即时训练3-1:某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?解:由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{an},且当an0时,该公司会出现亏损.设从第1年起,第n年的利润为an,则a1=200,an-an-1=-20,n≥2,n∈N*.所以每年的利润an可构成一个等差数列{an},且公差d=-20.从而an=a1+(n-1)d=220-20n.若an0,则该公司经销这一产品将亏损,所以由an=220-20n0,得n11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.[备用例2](2019·山东菏泽高二检测)我国北方某地区为了防止沙漠流动,缓解沙尘暴的侵蚀,决定建立若干条防沙林带,其中最前面一条长133km,最后面一条长293km,各条的长度成等差数列且公差为40km.试求该防沙林带的条数.解:用{an}表示防沙林带从前至后各条的长度所成的等差数列,由已知条件,有a1=133,an=293,d=40.由通项公式,得293=133+(n-1)×40,解得n=5.答:该防沙林带一共有5条.题型四易错辨析——应用等差数列性质的易错点[例4]等差数列{an}中,已知a3=2,a6=5,求a9.错解:因为3+6=9,所以a9=a3+a6=2+5=7.纠错:(1)使用性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”时,一定注意结论中等式两边项数相同.(2)性质am+an=ap+aq中必须是两项相加等于两项相加,并不是下标和相等即相等.正解:a3,a6,a9构成一个新的等差数列,其中a3是第一项,a6是第2项,a9是第3项,故2a6=a3+a9,所以a9=2a6-a3=8.学霸经验分享区弄清等差数列性质am+an=ap+aq=2ak(m+n=p+q=2k)源于等差数列的定义,注意两项和一定等于两项和或等于某一项2倍.切忌两项和等于某一项,也可变化为am+an+ap=