2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第2课时 课后课时精练课件 新人教A

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a1010B．a2＋a1000C．a3＋a100≤0D．a51＝0解析由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.3．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为()A.53B.103C.56D.116解析设五个人分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，(d0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20，由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝556，∴最小的一份为a－2d＝20－1106＝53.故选A.4．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋a4，则k的值为()A．6B．7C．8D．9解析因为a1＝0，d≠0，∴a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝6d＝a7.故选B.二、填空题5．已知等差数列{an}满足a1＝1，公差为d，a30，当且仅当n＝3时，|an|取得最小值，则公差d的取值范围是_________________．－12，－25解析∵a30，当且仅当n＝3时|an|取最小值，∴a40，且a4＋a30，∴1＋2d0，1＋3d0，1＋2d＋1＋3d0，解得－12d－25.6．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.24解析∵a60＝a15＋45d，∴d＝415，∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.7．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.19解析因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.三、解答题8．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．解设an＝a1＋(n－1)d，则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)·(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)＝(a21＋11a1d＋24d2)－(a21＋11a1d＋30d2)＝－6d20，所以a4a9a6a7.9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．解设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±32代入①得a＝±72.故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．已知数列{an}满足an＋1＝1＋an3－an(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3的值；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列1an－λ为等差数列，请说明理由．解(1)因为a1＝0，an＋1＝1＋an3－an(n∈N*)，所以a2＝1＋a13－a1＝1＋03－0＝13，a3＝1＋a23－a2＝1＋133－13＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列1an－λ为等差数列，则1a1－λ，1a2－λ，1a3－λ成等差数列，所以2a2－λ＝1a1－λ＋1a3－λ，所以213－λ＝10－λ＋112－λ，解之得λ＝1.因为1an＋1－1－1an－1＝11＋an3－an－1－1an－1＝3－an2an－1－1an－1＝1－an2an－1＝－12，又1a1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列1an－λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．B级：能力提升练1．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则这两个数列中有多少个共同的项？解设用两数的公共项组成的新数列为{an}，则{an}是首项为11的等差数列，而两个数列公差分别为3和4，则{an}的公差为d＝3×4＝12.∴an＝11＋(n－1)×12＝12n－1.数列5,8,11，…与3,7,11，…第100项分别为302与399.∴an≤302，即n≤25.25.∴所给数列有25个共同的项．2．设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N*都有2bn＝an＋an＋1且a2n＋1＝bnbn＋1.(1)求证：{bn}是等差数列；(2)设a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．解(1)证明：a2n＋1＝bnbn＋1得an＋1＝bnbn＋1，∴an＝bn－1bn代入2bn＝an＋an＋1，得2bn＝bn－1bn＋bnbn＋1，∴2bn＝bn－1＋bn＋1，∴{bn}是等差数列．(2)由a1＝1，a2＝2得b1＝a1＋a22＝32.又由a2n＋1＝bnbn＋1得a22＝b1b2，∴b2＝a22b1＝83，∴b1＝32＝62，b2＝83＝263.∴{bn}的公差d＝b2－b1＝66.∴bn＝62＋(n－1)·66＝66(n＋2)，∴bn＝16(n＋2)2，∴a2n＝bn－1bn＝16(n＋1)2·16(n＋2)2，∴an＝16(n＋1)(n＋2)．