2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式课

2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式目标定位重点难点1.通过实例，理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．2．掌握等差数列的通项公式及变形公式.重点：理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．难点：等差数列通项公式的应用.1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母________表示．2．等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么________叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是_____________．同一个公差dAA＝a＋b23．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________.特别注意：(1)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量．(2)等差数列的通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d(n≥m，m，n∈N*)．由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项．a1＋(n－1)d1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是它的()A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项【答案】C2．若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是()A．公差为－1的等差数列B．公差为5的等差数列C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列【答案】A3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是()A．92B．47C．46D．45【答案】C4．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝________.【答案】10【例1】判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中an＝3n＋2；(2)在数列{an}中an＝n2＋n.【解析】(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．等差数列的定义及判定【方法规律】定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an＋1－an；(2)对差式进行变形；(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．【解析】数列{bn}是等差数列．理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，∴an＋1－an＝d(n∈N*)．∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列．【解题探究】运用等差数列的通项公式及解方程组的方法求解．等差数列的通项公式【例2】已知数列{an}为等差数列且a3＝54，a7＝－74，求a15的值．【解析】由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－34.∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×－34＝－314.【特别提醒】解决等差数列通项公式问题的方法：(1)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋m－1d＝a，a1＋n－1d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式；(2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，运用am＝an＋(m－n)d则较为简捷．设等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35，2a4－a6＝7，则d＝()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】∵等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35,2a4－a6＝7，∴a1a1＋d＝35，2a1＋3d－a1＋5d＝7，解得a1＝5，d＝2.故选C．【解题探究】由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明．等差数列的证明【例3】已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差数列．【解析】∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，则b(a＋c)＝2ac.∴b＋ca＋a＋bc＝b＋cc＋a＋baac＝ba＋c＋a2＋c2ac＝2ac＋a2＋c212ba＋c＝2a＋cb，即b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差数列．【方法规律】证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)定义法，即证an＋1－an＝常数；(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．若1b＋c，1a＋c，1a＋b成等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．【证明】由已知得1b＋c＋1a＋b＝2a＋c，即2b＋a＋cb＋ca＋b＝2c＋a，即(2b＋a＋c)(c＋a)＝2(b＋c)(a＋b)，∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列．构造法解题【示例】数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列，若a3＝2－1，a5＝2＋1，求a11.【分析】1an成等差数列，设其公差为d，首项为1a1，然后由通项公式求得d和1a1，代入通项公式可求a11.【解析】设bn＝1an，{bn}的公差为d.由已知得b3＝1a3＝12－1＝2＋1，b5＝1a5＝12＋1＝2－1.∴b1＋2d＝2＋1，b1＋4d＝2－1，解得b1＝3＋2，d＝－1.∴b11＝b1＋10d＝2－7.∴a11＝1b11＝12－7＝－7－247.【方法总结】1.在解题过程中要注意到1an＋1－1an＝－1，即an＋1＝an1－an，此类递推公式的数列可转化为等差数列，进而求出数列的通项公式．2．在本章的许多问题中，需用构造法，构造一个新数列，使新数列成等差数列，从而使原问题获得解决．1．对于等差数列定义的理解要注意：(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”；(3)“同一个常数d”，d是等差数列的公差，即d＝an－an－1，d可以为零，当d＝0时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列；(4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．2．在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1.实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m＜n)．1．在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，则a7＝()A．7B．10C．20D．30【答案】C【解析】设等差数列{an}的公差为d，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，∴a1－d＝－1,7d＝21，解得d＝3，a1＝2.则a7＝2＋6×3＝20.故选C．2．如果三个数2a,3，a－6成等差数列，则a的值为()A．－1B．1C．3D．4【答案】D【解析】∵三个数2a,3，a－6成等差数列，∴2a＋a－6＝6，解得a＝4.故选D．3．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列【答案】C【解析】令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，∴bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.故选C．4．(2019年贵州遵义期末)已知在数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝________.【答案】－1n【解析】∵an＋1·an＝an＋1－an，∴1an＋1－1an＝－1.∴1an是以－1为首项，－1为公差的等差数列．∴1an＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴an＝－1n.