2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量章末归纳整合课件 新人教A版必修4

章末归纳整合平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想，引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，从而将数与形紧密结合起来．数形结合的思想【例1】已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，点D在边OB上且BD＝2OD，DC和OA交于E，设OA→＝a，OB→＝b(如图)．(1)用a，b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．【思路点拨】(1)利用向量的三角形法则和数乘运算来表示OC→，DC→.(2)先用a，b将CE→，CD→表示出来，再利用CE→和CD→共线列出方程，最后求λ的值．【解析】(1)∵A为BC的中点，∴OA→＝12(OB→＋OC→)，则OC→＝2OA→－OB→＝2a－b.∴DC→＝OC→－OD→＝OC→－13OB→＝2a－b－13b＝2a－43b.(2)∵OE→＝λOA→，∴CE→＝OE→－OC→＝λOA→－OC→＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.∵CE→与CD→共线，∴存在实数m，使得CE→＝mCD→，即(λ－2)a＋b＝m－2a＋43b，即(λ＋2m－2)a＋1－43mb＝0.∵a，b不共线，∴λ＋2m－2＝0，1－43m＝0，解得λ＝12.【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量平行四边形法则和向量共线的条件是解决本题的关键．如图，在△OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，OB＝1，C，D分别是线段OB和AB的中点，那么OD→·AC→＝________.【答案】－32【解析】由题意可得OD→·AC→＝12(OA→＋OB→)·12(AO→＋AB→)＝14(OA→＋OB→)·(－OA→＋OB→－OA→)＝14(OA→＋OB→)·(－2OA→＋OB→)＝14(－2OA→2－OA→·OB→＋OB→2)＝14(－2×22－2×1×cos120°＋12)＝－32.方程思想在本章应用比较多，如：向量共线、三点共线、平面向量基本定理及其坐标表示中求字母参数，设未知数来表示条件或结论，这是向量“数”方面的体现．方程思想【例2】在△AOB的边OA，OB上分别有一点P，Q，已知OP∶PA＝1∶2，OQ∶QB＝3∶2，连接AQ，BP，设它们交于R点，若OA→＝a，OB→＝b，设OR→＝λa＋μb，试求出λ和μ的值．【解析】∵BR→和BP→共线，∴存在实数x使BR→＝xBP→.同样，存在实数y使AR→＝yAQ→.OR→＝OB→＋BR→＝OB→＋xBP→＝b＋x13a－b＝x3a＋(1－x)b，OR→＝OA→＋AR→＝OA→＋yAQ→＝a＋y35b－a＝(1－y)a＋3y5b，∴x3a＋(1－x)b＝(1－y)a＋3y5b.∵a，b不共线，∴x3＝1－y，1－x＝35y，解得x＝12，y＝56.∴OR→＝16a＋12b.∴λ＝16，μ＝12.【点评】考查向量的加法运算，共线向量定理，平面向量基本定理，用两种方式表示OR→是求解本题的关键．已知两点A(1,0)，B(1，3)，O为坐标原点，点C在第二象限且∠AOC＝120°，设OC→＝－2OA→＋λOB→(λ∈R)，则λ等于()A．－1B．2C．1D．－2【答案】C【解析】OC→＝－2OA→＋λOB→＝－2(1,0)＋λ(1，3)＝(λ－2，3λ)，即C(λ－2，3λ)，又∠AOC＝120°，所以tan120°＝3λλ－2，解得λ＝1.故选C.平面向量具有代数形式和几何形式的双重身份，平面向量与几何问题的综合应用通常涉及向量角度、平行、垂直、模长等问题，通常可以建立坐标系，通过坐标的代数运算解决几何问题．坐标法求平面向量问题【例3】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D在斜边BC上且CD＝2DB，则AB→·AD→＝________.【分析】利用∠BAC＝90°建立平面直角坐标系，表示出各点的坐标后求数量积．【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(6,0)，设C(0，a)．由CD＝2DB，可得D4，a3.所以AB→＝(6,0)，AD→＝4，a3，则AB→·AD→＝6×4＋0×a3＝24.【答案】24【点评】建立适当的坐标系表示出相关点的坐标是用坐标法解向量问题的关键，遇到不确定的长度，可先设未知数，再根据已知条件求出或消去．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝CD＝1，P是边CD上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．【答案】5【解析】以D为原点，DA，DC分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,0)，A(2,0)，B(1,1)．设P(0，x)，0≤x≤1，则PA→＝(2，－x)，PB→＝(1,1－x)，所以PA→＋3PB→＝(5,3－4x)．所以|PA→＋3PB→|＝25＋3－4x2，当x＝34时，|PA→＋3PB→|取得最小值5.向量作为一种工具，在解决平面几何、解析几何以及许多物理问题中，都显示了其操作简单、运算方便、形象直观的优越性，从近三年的高考试题来看，考查的热点在两个方面：一是对向量的基本概念、基本运算的考查，二是突出考查向量的工具作用，即运用向量知识解决平面几何、立体几何、三角、代数中的综合问题．从题型上看，对向量的考查往往是一小题一大题，有关平面向量的概念及运算多以选择、填空形式单独命题．向量的数量积，向量的平行、垂直仍是高考的热点，向量与平面几何结合突出向量方法，也可能成为高考热点．1．(2017年新课标Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|＞|b|【答案】A【解析】∵非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝(a－b)2，解得a·b＝0.∴a⊥b.故选A．2．(2018年新课标Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A．34AB→－14AC→B．14AB→－34AC→C．34AB→＋14AC→D．14AB→＋34AC→【答案】A【解析】由题意，得EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→.故选A．3．(2018年新课标Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】由题意，a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.故选B．4．(2018年新课标Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.【答案】12【解析】2a＋b＝2(1,2)＋(2，－2)＝(4,2)，由c∥(2a＋b)，得14＝λ2，解得λ＝12.5．(2018年北京)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.【答案】－1【解析】向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．ma－b＝(m＋1，－m)．∵a⊥(ma－b)，∴m＋1＝0，解得m＝－1.6．(2016年江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．【答案】78【解析】∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴BF→＝BD→＋DF→，CF→＝－BD→＋DF→，BA→＝BD→＋3DF→，CA→＝－BD→＋3DF→.∴BF→·CF→＝|DF→|2－|BD→|2＝－1，BA→·CA→＝9|DF→|2－|BD→|2＝4.∴|DF→|2＝58，|BD→|2＝138.又BE→＝BD→＋2DF→，CE→＝－BD→＋2DF→，∴BE→·CE→＝4|DF→|2－|BD→|2＝78.