2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 第4节 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P106～P107的内容，回答下列问题．已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.(2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？提示：|a|＝（x1i＋y1j）2＝x21＋y21；|b|＝（x2i＋y2j）2＝x22＋y22.(3)能用a，b的坐标表示a·b吗？提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.二、归纳总结·核心必记1.平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，即两个向量的数量积等于．2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔．3.三个重要公式(1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.x1x2＋y1y2它们对应坐标的乘积的和x1x2＋y1y2＝0(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝.（x2－x1）2＋（y2－y1）2x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22三、综合迁移·深化思维(1)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±1|a|a＝±x|a|，y|a|＝±xx2＋y2，yx2＋y2，其中正号，负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，∴与a垂直的单位向量b0的坐标为±－yx2＋y2，xx2＋y2，其中正，负号表示不同的方向．(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2吗？探究点一平面向量数量积的坐标运算[典例精析]1．(1)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2)，若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．(2)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.(2)法一：①∵2a＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.法二：①2a·(b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.②(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.答案：(1)5[类题通法]数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．[针对训练]1．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1，2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝20.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2，4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.探究点二向量模的问题[思考探究]向量的模与两点间的距离有什么关系？名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A到原点的距离．同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．[典例精析]2．(1)若向量a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．(2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．[解](1)∵a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，∴a－b＝(2x－1，3－x)－(1－x，2x－1)＝(3x－2，4－3x)，∴|a－b|＝（3x－2）2＋（4－3x）2＝18x2－36x＋20＝18（x－1）2＋2.∴当x＝1时，|a－b|取最小值为2.(2)①∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝42＋（－3）2＝5.②与a平行的单位向量是±a|a|＝±15(4，－3)，即坐标为45，－35或－45，35.③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴mn＝34.又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.解得m＝35，n＝45，或m＝－35，n＝－45，∴e＝35，45或－35，－45.答案：(1)2[典例精析]求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.[针对训练]2．已知向量a＝(3，－1)和b＝(1，3)，若a·c＝b·c，试求模为2的向量c的坐标．解：法一：设c＝(x，y)，则a·c＝(3，－1)·(x，y)＝3x－y，b·c＝(1，3)·(x，y)＝x＋3y，由a·c＝b·c及|c|＝2，得3x－y＝x＋3y，x2＋y2＝2，解得x＝3＋12，y＝3－12，或x＝－3＋12，y＝－3－12，所以c＝3＋12，3－12或c＝－3＋12，－3－12.法二：由于a·b＝3×1＋(－1)×3＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此外，由于|c|＝2，即其长度为正方形对角线长度(2|b|＝22)的一半，故c＝12(a＋b)＝3＋12，3－12或c＝－12(a＋b)＝－3＋12，－3－12.探究点三向量的夹角与垂直问题[思考探究]当a与b是非坐标形式时，如何求a与b的夹角？如果a与b是坐标形式时，又如何求a与b的夹角？名师指津：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系．(2)若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解．[典例精析]3．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．[解](1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9，12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m、n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋（－4）×1（－3）2＋（－4）272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m、n的夹角为3π4.[类题通法]解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，所以利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[针对训练]3．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．(1)a与b的夹角为90°.(2)a与b的夹角为锐角．解：(1)设a与b的夹角为θ.|a|＝12＋22＝5，|b|＝1＋λ2，a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a⊥b，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ0，且cosθ≠1，所以a·b0且a与b不同向．因此1＋2λ0，所以λ－12.又a与b共线且同向时，λ＝2.所以a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．探究点四平面向量的数量积问题[典例精析]已知点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，求AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值．[解][法一定义法]如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝π2，cosA＝35，cosC＝45，∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝BC→·CA→＋CA→·AB→＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－25.[法二坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．∴AB→＝(－3,0)，BC→＝(0,4)，CA→＝(3，－4)．∴AB→·BC→＝－3×0＋0×4＝0，BC→·BC→＝0×3＋4×(－4)＝－16，BC→·AB→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋BC→·AB→＝0－16－9＝－25.[法三转化法]∵|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，∴AB⊥BC，∴CA→·BC→＝0，∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝CA→·(AB→＋BC→)＝CA→·AC→＝－|CA→|2＝－25.[类题通法]求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式a·b＝|a||b|cosθ求解；(2)坐标法：利用坐标式a·b＝x1x2＋y1y2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．[针对训练]4．(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝________.解析：如图，∵E在线段CB的延长线上，∴EB∥AD.∵∠DAB＝30°，∴∠ABE＝30°.∵AE＝BE，∴∠EAB＝30°.又∵AB＝23，∴BE＝2.∵AD＝5，∴EB→＝25AD→.∴AE→＝AB→＋BE→＝AB→－25AD→.又∵BD→＝AD→－AB→，∴BD→·AE→＝(AD→－AB→)eqAB→－25eqAD→＝AD→·AB→－25AD→2－AB→2＋25AD→·AB→＝75|AD→|·|AB→|·cos30°－25×52－(23)2＝75×5×23×32－10－12＝21－22＝－1.答案：－1[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题．2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用(1)求平面向量的数量积，见探究点一；(2)解决向量模