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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：(1)如何计算力F所做的功？提示：W＝|F||s|cos_θ.(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos_θ.(3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．二、归纳总结·核心必记1.向量的数量积的定义已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ定义数量叫做a与b的数量积(或内积)记法规定零向量与任一向量的数量积为|a||b|cosθa·b＝|a||b|cos_θ02.向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为．②向量a在b的方向上的投影为．(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积．|b|cos_θ|a|cos_θb在a的方向上的投影|b|cosθ3.向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．①a⊥b⇔．②当a与b同向时，a·b＝，当a与b反向时，a·b＝．③a·a＝或|a|＝a·a＝a2.④cosθ＝.⑤|a·b||a||b|.a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2a·b|a||b|≤4.向量数量积的运算律①a·b＝(交换律)．②(λa)·b＝＝(结合律)．③(a＋b)·c＝(分配律)．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c三、综合迁移·深化思维(1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|．(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.(5)a·b中的“·”能省略不写吗？提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．探究点一向量数量积的运算[思考探究](1)要求a·b，需要知道哪些量？名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ．(2)你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？名师指津：求平面向量数量积的步骤为：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②求|a|和|b|；③代入公式求a·b的值．[典例精析]1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC的边长为2，求a·b＋b·c＋c·a.[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.[类题通法]向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．[针对训练]1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：探究点二向量的模[思考探究]如何求向量的模|a|?提示：|a|＝a·a．讲一讲2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________．3.已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，则|b|＝________．[解](1)因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，所以|a－3b|＝（a－3b）2＝a2－6a·b＋9b2＝12＋9×12＝10.(2)因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．答案：(1)10(2)2[类题通法]向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a|＝a·a，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.[针对训练]2．已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为π3，则|a|＝________；解析：由于c＝12a－b，所以c2＝14|a|2＋|b|2－2×12|a||b|×12，整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2或|a|＝0(舍去)．答案：2解析：3.由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝10.答案：.103．已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|．探究点三两向量的夹角与垂直问题[思考探究](1)如何求a与b的夹角θ？名师指津：利用cos_θ＝a·b|a||b|求出cos_θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.(2)两非零向量a与b垂直的充要条件是什么？名师指津：两非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0.[典例精析]3．(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．[解](1)由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，即a·b＝b2.∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝b22b2＝12.又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为π3.(2)由已知条件得（a＋3b）·（7a－5b）＝0，（a－4b）·（7a－2b）＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①7a2－30a·b＋8b2＝0，②②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：(1)B[类题通法]求向量a，b的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．[针对训练]4．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？解：由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝2914，即m＝2914时，c与d垂直．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．2．要掌握与数量积相关的三个问题(1)数量积的计算，见探究点一；(2)向量的模的计算，见探究点二；(3)向量的夹角及垂直问题，见探究点三.3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．