2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 7 向量应用举例课件 北师大版必修4

1．如何计算点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离？2．直线的法向量的定义是什么？§7向量应用举例一、预习教材·问题导入1．点到直线的距离公式点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝.2．直线l：ax＋by＋c＝0的法向量(1)与直线的方向向量的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l的方向向量v＝(b，－a)，则直线l的法向量n＝．|ax0＋by0＋c|a2＋b2垂直(a，b)二、归纳总结·核心必记[点睛](1)与直线垂直的向量都是该直线的法向量，故任意直线的法向量都有无数多个．(2)若直线l的方程为y＝kx＋b，则其方向向量与法向量常分别设为(1，k)与(k，－1)．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l的方向向量u＝(1，－2)，则其法向量为(2，－1)()(2)直线的方向向量与法向量互相垂直()×√三、基本技能·素养培优2．直线3x－4y＋7＝0的方向向量a与法向量b可以为()A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)解析：选C直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量为(A，B)，一个方向向量为(－B，A)，故可知C正确．3．若向量1uuurOF＝(1,1)，2uuurOF＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A.10B．25C.5D.15解析：选C由于F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝－22＋－12＝5.4．过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为__________．解析：设点P(x，y)是所求直线上的任意一点，则uuurAP＝(x＋1，y－2)．∴uuurAP∥a，∴(x＋1)－3(y－2)＝0.即x－3y＋7＝0.∴直线方程为x－3y＋7＝0.答案：x－3y＋7＝0[典例]已知A(2,3)，B(4，－5)，P(1,2)，求：(1)过点P且方向向量为uuurAB的直线l1的方程；(2)过点P且法向量为uuurAB的直线l2的方程；(3)过点P且与A，B两点等距离的直线l3的方程．[解](1)由题意知uuurAB＝(2，－8)，故可设直线l1的方程为－8x－2y＋c1＝0.①∵点P(1,2)在直线l1上，∴－8×1－2×2＋c1＝0，考点一向量在解析几何中的应用∴c1＝12.即c1＝12代入①式并化简，得直线l1的方程为4x＋y－6＝0.(2)设直线l2的方程为2x－8y＋c2＝0.②∵直线l2过点P(1,2)，∴2×1－8×2＋c2＝0，∴c2＝14.将c2＝14代入②式并化简，得直线l2的方程为x－4y＋7＝0.(3)设线段AB的中点为M，则点M的坐标为M(3，－1)，uuurPM＝(2，－3)，又设N(x，y)为直线l3上任一点，则uuurPN＝(x－1，y－2)．由uuurPM∥uuurPN，得2(y－2)＋3(x－1)＝0，整理，得3x＋2y－7＝0.与AB平行的直线方程同(1)，为4x＋y－6＝0.故满足条件的直线l3的方程为4x＋y－6＝0,3x＋2y－7＝0.[类题通法]利用向量解决解析几何问题的方法(1)利用直线的方向向量和法向量求直线方程；(2)利用向量共线的条件处理解析几何中有关平行、共线等问题；(3)利用向量的数量积可以把有关长度、角度、垂直等几何关系转化为数量关系，从而解决问题；(4)利用平面向量的知识求动点的轨迹方程．[针对训练]已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，求点B(2,3)到直线l的距离．解：依题意得uuurAB＝(1,5)，由距离的向量公式d＝，可得d＝|1×2＋5×3|22＋32＝1713＝171313.[典例]已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：BE⊥CF.[证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．uuurBE＝(－1,2)，uuurCF＝(－2，－1)．所以uuurBE·uuurCF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，所以uuurBE⊥uuurCF，即BE⊥CF.考点二向量在平面几何中的应用[类题通法]用向量方法解决平面几何问题的步骤[针对训练]1．[变设问]本例条件不变，证明AP＝AB.证明：连接AP.建系同例题，设点P坐标为(x，y)，则uuurFP＝(x，y－1)，uuurFC＝(2,1)，因为uuurFP∥uuurFC，所以x＝2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由uuurBP∥uuurBE，得y＝－2x＋4，由x＝2y－2，y＝－2x＋4，得x＝65，y＝85，所以点P坐标为65，85.所以|uuurAP|＝652＋852＝2＝|uuurAB|，即AP＝AB.2．[变条件，变设问]如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解：设AD―→＝a，AB―→＝b，则BD―→＝a－b，AC―→＝a＋b，而|BD―→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12，又|AC―→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|AC―→|＝6，即AC＝6.[典例]某人在静水中游泳的速度为43km/h，水的流速为4km/h.(1)如果他径直游向河对岸，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？考点三向量在物理中的应用[解](1)如图①，设人游泳的速度为uuurOB，水流的速度为uurOA，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为uurOA＋uuurOB＝uuurOC，根据勾股定理，|uuurOC|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8km/h.(2)如图②,设此人的实际速度为uuurOB,水流速度为uurOA.∵实际速度＝游速＋水速，故游速为uuurOB－uurOA＝uuurAB，在Rt△AOB中，|uuurAB|＝43，|uurOA|＝4，|uuurOB|＝42.∴cos∠BAO＝33故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为42km/h.利用向量解决物理问题的步骤[类题通法][针对训练]已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．解：设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵AB―→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．∴W1＝F1·AB―→＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·AB―→＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．