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一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．二、归纳总结·核心必记1.向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有，又有的量叫做向量．2.有向线段带有的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．3.向量的表示方法①向量可以用表示．向量的大小，也就是向量的(或称模)，记作||．大小方向方向有向线段长度②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母，，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.4.几种特殊的向量①零向量：长度为的向量，叫做零向量，记作.00②单位向量：长度等于的向量叫做单位向量．③相等向量：长度且方向的向量，叫做相等向量．④平行向量：方向的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作；规定：零向量与任一向量，即对于任意向量a，都有．1个单位相等相同相同或相反a∥b平行0∥a三、综合迁移·深化思维(1)两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？(3)“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？提示：不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c，则a∥c，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑0的特殊性．探究点一向量的有关概念[典例精析]1．下列说法正确的有________．(填序号)①若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．[尝试解答]①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．答案：②⑤[类题通法]解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．[针对训练]1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)(1)两个单位向量不可能平行；(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.解析：(1)错误，单位向量也可以平行；(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．答案：(1)(2)(3)探究点二向量的表示[典例精析]2．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①，使||＝42，点A在点O北偏东45°；②，使||＝4，点B在点A正东；③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.[尝试解答](1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．答案：(1)12[类题通法]用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．[针对训练]2．一辆汽车从A出发向西行驶了100km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量；(2)求||.解：(1)向量如图所示．(2)由题意，易知方向相反，故共线．所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，探究点三相等向量与共线向量[思考探究](1)两个向量相等的条件是什么？提示：方向相同，模相等．(2)两个向量共线的条件是什么？名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．[典例精析]3．如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．(1)找出与向量共线的向量；(2)找出与向量相等的向量．[尝试解答](1)依据图形可知方向相同，方向相反，所以与向量共线的向量为(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为[类题通法]寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．[针对训练]3．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量相等的向量有________；(2)与向量共线，且模相等的向量有________；(3)与向量共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题(1)向量有关概念的辨析，见探究点一；(2)向量的表示，见探究点二；(3)相等向量与共线向量的应用，见探究点三.3．本节课要注意两个区别(1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．②数量可以比较大小，向量不能比较大小．(2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．