2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示课件 北师大版必修4

1．平面向量数量积的坐标运算如何表示？2．如何用坐标法计算向量的夹角？§6平面向量数量积的坐标表示一、预习教材·问题导入1．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.2．几个重要结论(1)向量模的坐标表示：若a＝(x，y)，则|a|＝.(2)向量垂直的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.(3)向量夹角的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝.x1x2＋y1y2x2＋y2x1x2＋y1y2＝0x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22二、归纳总结·核心必记3．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l，把与直线l共线的称为直线l的方向向量．[点睛](1)数量积的坐标运算可以简单记为“对应坐标相乘再求和”．在解题过程中要注意坐标的顺序．(2)向量垂直条件的坐标表示x1x2＋y1y2＝0和向量平行条件的表示x1y2－x2y1＝0，有许多相似性，要注意区别．(3)注意直线l的方向向量m必须为非零向量．共线非零向量m1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则a·b＝x1y1＋x2y2()(2)若直线l的斜率不存在，则向量m＝(0,1)为其一个方向向量()√×2．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x＝()A．3B.13C．－13D．－3解析：选C3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－13.三、基本技能·素养培优3．(2019·北京高考)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.解析：∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵a＝(－4,3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.4．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则|a＋2b|＝________.解析：∵a＋2b＝(－1,7)，∴|a＋2b|2＝(－1)2＋72＝50，∴|a＋2b|＝52.答案：52答案：8[典例](1)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b等于________．(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB―→＝(1，－2)，AD―→＝(2,1)，则AD―→·AC―→＝________.(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，则(3a－b)(a－2b)＝________.考点一平面向量数量积的坐标运算[解析](1)a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.(2)由AC―→＝AB―→＋AD―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD―→·AC―→＝(2,1)·(3，－1)＝5.(3)因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.[答案](1)1(2)5(3)－15[类题通法]进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.[针对训练]已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c.解：(1)a·b＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a＋b＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)·c＝17·c＝17(2,1)＝(34,17).考点二利用向量的坐标表示求向量的模与夹角[典例]已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5.(1)求|a＋2b|；(2)若(a＋b)·c＝52，求向量a与c的夹角．[解](1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)∴|a＋2b|＝－32＋－62＝35.(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝52.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a||c|＝－525×5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π，即a与c的夹角为23π.[类题通法](1)已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝x2＋y2进行计算．(2)求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：①先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；②再求出两向量的模；③由公式cosθ＝a·b|a||b|计算cosθ的值；④在[0，π]内，由cosθ的值确定角θ.[针对训练]1．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，e＝(0,1)，若a≠b，|a－b|＝2，且a－b与e的夹角为π3，则x1－x2＝()A．2B．±3C．±2D．±1解析：a－b＝(x1－x2，y1－y2)．∴(a－b)·e＝(x1－x2)×0＋(y1－y2)×1＝y1－y2.∵|a－b|＝2，|e|＝1，a－b与e的夹角为π3，∴cosπ3＝a－b·e|a－b||e|＝y1－y22＝12，∴y1－y2＝1，又由|a－b|＝2知，(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝4，∴(x1－x2)2＝3.∴x1－x2＝±3.答案：B2．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，(1)求a－2b的坐标和模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.解：(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，|a－2b|＝72＋32＝58.(2)a·b＝3×(－2)＋5×1＝－6＋5＝－1，所以c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.考点三两向量垂直的坐标表示的应用[典例]已知a＝(3，－1)，b＝12，32.(1)求证：a⊥b；(2)是否存在实数k，使x＝a－2b，y＝－ka＋b，且x⊥y，若存在，求k的值；不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵a·b＝3×12＋(－1)×32＝0.∴a⊥b.(2)∵x＝(3，－1)－212，32＝3－1，－1－3，y＝－k(3，－1)＋12，32＝12－3k，k＋32.假设存在k使x⊥y，∴x·y＝(3－1)12－3k＋(－1－3)k＋32化简得：－4k－2＝0∴k＝－12即存在k＝－12，使x⊥y.[类题通法]两向量互相垂直，则其数量积为零，反之也成立，因此：(1)判断两个向量是否垂直，只需考察其数量积是否为0；(2)若两向量垂直，则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程，进而求解．[针对训练]设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.解析：a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－12，则a＝(1，－1)，故|a|＝2.答案：2