2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4

1．向量的夹角的范围是什么？2．向量数量积的几何意义是什么？3．向量数量积有哪些性质？4．向量数量积的运算满足哪些运算律？§5从力做的功到向量的数量积一、预习教材·问题导入1．向量的夹角(1)定义：已知非零向量a和b(如图所示)，作uurOA＝a，uuurOB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a和b的夹角，当θ＝0°时，向量a和b；当θ＝180°时，向量a和b．同向反向(2)垂直：如果向量a和b的夹角是，我们就说向量a与b垂直，记作.规定：零向量可与任一向量垂直．a⊥b90°二、归纳总结·核心必记2．向量的数量积(1)投影：若非零向量a，b的夹角为θ，则叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)．(2)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝.[点睛]两向量的夹角的范围是[0，π]，但要注意，前提是共起点时才能指出夹角，若不满足，可先进行平移．|b|cosθ|a||b|cosθ|a||b|cosθ(3)数量积的特殊情况：当两个向量相等时，a·a＝.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝.(4)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影的乘积．[点睛](1)两个向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时只能写成a·b，而不能写成a×b或ab.(2)向量的数量积为一实数，可正、可负、可为0.这不同于数乘向量，其结果仍为向量．|a|2cosθ|b|cosθ|a|cosθ3．向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝＝；(2)a⊥b⇔；(3)＝a·a；(4)cosθ＝(|a||b|≠0)；(5)对任意两个向量a，b，有|a·b||a||b|，当且仅当a∥b时成立．4．向量数量积的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(结合律)；(3)(a＋b)·c＝(分配律)．a·e|a|cosθa·b＝0|a|a·b|a||b|≤等号b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c()(2)在△ABC中，∠A＝60°，则uuurAB与uurCA的夹角为60°()(3)对任意两个向量a，b，都有a·b≤|a||b|()×√×三、基本技能·素养培优解析：选C①②③显然正确．对于④，|a·b|＝|a||b|·|cosθ|(设θ为a，b的夹角)，a·b＝|a||b|cosθ，故a·b≤|a·b|，故④错误．对于⑤，(a·b)2＝(|a|·|b|cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2(设θ为a，b的夹角)，故⑤错误．2．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．43．设向量a，b均为单位向量，且(a＋b)2＝1，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4解析：选C(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b＝1，则a·b＝－12.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－12，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.4．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.解析：a·b＝|a||b|cos30°＝2×3×32＝3.答案：3[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·(a－2b)．(2)如图，设正三角形ABC的边长为2，uuurAB＝c，uuurBC＝a，uurCA＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.考点一平面向量数量积的运算[类题通法]向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．[针对训练]1．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影为|b|cosθ＝2cos60°＝2×12＝1.答案：12．△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝7，求AO―→·BC―→.解：AO―→·BC―→＝AO―→·(AC―→－AB―→)＝AO―→·AC―→－AO―→·AB―→，∵AO―→在AB―→上的投影为12|AB―→|，∴AO―→·AB―→＝12|AB―→|·|AB―→|＝2.同理，AO―→·AC―→＝12|AC―→|·|AC―→|＝92.∴AO―→·BC―→＝92－2＝52.考点二向量的模与夹角[典例]已知|a|＝|b|＝2，(1)若a·b＝22，试求a与b的夹角；(2)若a与b的夹角为150°，试求|a＋b|.[解](1)设a与b的夹角为θ，则：cosθ＝a·b|a||b|＝222·2＝22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a|·|b|cos150°＋|b|2＝22＋2×2×2×(－32)＋22＝8－43.∴|a＋b|＝8－43＝6－2.[类题通法](1)求向量的夹角主要是利用数量积的变形公式cosθ＝a·b|a||b|.求解时应抓住两个“积”考虑，一是数量积a·b，二是模的积|a||b|，同时注意向量夹角的取值范围是[0，π]．(2)求向量的长度，关键是合理运用性质|a|＝a2，以及数量积公式a·b＝|a|·|b|cosθ.[针对训练]1．已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．解：如图，作向量OA―→＝a，OB―→＝b，则a－b＝BA―→.∵|a|＝|b|＝|a－b|.∴△OAB是等边三角形，设其边长为m.则a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝m2＋12m2＝32m2.|a||a＋b|＝mOA―→＋OA―→2＝ma2＋2a·b＋b2＝m|a|2＋2|a||b|cos60°＋|b|2＝mm2＋2m2×12＋m2＝3m2.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝a·a＋b|a||a＋b|＝32m23m2＝32.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a与a＋b的夹角为30°.2．已知|a|＝2，|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，求使向量2a＋λb与λa－3b的夹角为锐角时λ的取值范围．解：设向量2a＋λb与λa－3b的夹角为θ.∵向量2a＋λb与λa－3b的夹角为锐角，∴2a＋λb·λa－3b|2a＋λb||λa－3b|＞0，即(2a＋λb)·(λa－3b)＞0，2λa2＋(λ2－6)a·b－3λb2＞0.∵a2＝|a|2＝2，b2＝|b|2＝1，a·b＝|a||b|cos45°＝2×1×22＝1，∴4λ＋λ2－6－3λ＞0，即λ2＋λ－6＞0，∴λ＜－3或λ＞2.设2a＋λb＝k(λa－3b)＝kλa－3kb，则2＝kλ，λ＝－3k，∴λ2＝－6，即此时λ不存在，向量2a＋λb与λa－3b不共线．综上，向量2a＋λb与λa－3b的夹角为锐角时，λ＜－3或λ＞2.考点三有关向量的垂直问题[典例]已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb垂直？[解]∵(a＋kb)⊥(a－kb)，∴(a＋kb)·(a－kb)＝0，∴a2－(kb)2＝0，即|a|2－k2|b|2＝0，又|a|＝3，|b|＝4，∴9－16k2＝0，得k＝±34，∴当k＝±34时，向量a＋kb与a－kb垂直．[类题通法]有关向量的垂直问题是向量数量积的重要应用之一，解决该类问题主要运用性质a⊥b⇔a·b＝0，同时注意运算时要正确把握向量数量积的运算律．[针对训练]1．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，即a·b＝b2.∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝b22b2＝12.又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为π3.答案：B2．已知a，b是非零向量，且满足(3a－b)⊥a，(4a－b)⊥b，则a与b的夹角是()A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：设a与b的夹角为θ，由题意得：3a－b·a＝0，4a－b·b＝0⇒3|a|2－a·b＝0，4a·b－|b|2＝0，∴|a|＝13a·b，|b|＝2a·b.∴cosθ＝a·b|a||b|＝3a·b2a·b＝32.∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案：D