2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 3.1 数乘向量课件 北师大版必修4

1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？§3从速度的倍数到数乘向量3．1数乘向量1．数乘向量(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个，记作.(2)长度：|λa|＝.(3)方向：λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，λa＝.向量λa|λ||a|相同相反0二、归纳总结·核心必记(4)几何意义：由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段或．当|λ|1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上为原来的倍；当|λ|1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上为原来的倍．(5)运算律：设λ，μ为实数，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝；③λ(a＋b)＝.(6)线性运算：向量的、和的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．伸长压缩伸长|λ|缩短|λ|λa＋μaλa＋λb加法减法实数与向量积[点睛](1)数乘向量λa中，实数λ称为向量a的系数．(2)实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义．(3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题．2．向量共线的判定定理a是一个向量，若存在一个实数λ，使得，则向量b与非零向量a共线．3．向量共线的性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝.非零b＝λaλa[点睛](1)定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0.(3)已知平面内直线AB外任意一点O，则满足向量关系式OP―→＝λOA―→＋(1－λ)OB―→的点P与点A，B共线．反之，若点P在直线AB上，则存在实数λ，使得OP―→＝λOA―→＋(1－λ)OB―→成立．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa的方向与a的方向一致()(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉()(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b()×××三、基本技能·素养培优2．下列各式计算正确的个数是①(－7)·6a＝－42a；②a－2b＋(2a＋2b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.()A．0B．1C．2D．3解析：选C根据实数与向量的积满足的运算律，可知①正确；a－2b＋(2a＋2b)＝a－2b＋2a＋2b＝3a，故②正确；a＋b－(a＋b)＝0.故③错误．答案：C3．在四边形ABCD中，若AB―→＝－12CD―→，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形4．已知向量a＝2e1＋3e2，b＝－e1＋2e2，且ma＋b与a－2b共线，则实数m＝________.解析：ma＋b＝(2m－1)e1＋(3m＋2)e2，a－2b＝4e1－e2，由题意知2m－14＝3m＋2－1，故m＝－12.答案：－12[典例]化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9a＋13b；(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.考点一向量的线性运算[类题通法]向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[针对训练]1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．解：原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a＝13－1－1a＋－1＋23＋2b＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j.2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.解：联立方程组5x＋2y＝a，3x－y＝b，解得x＝111a＋211b，y＝311a－511b.[典例]如图，D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且uuurBC＝a，uurCA＝b.试求uuurAD，uuurBE，uuurCF(用a，b表示)．[解]uuurAD＝uuurAC＋uuurCD＝－b＋12uurCB＝－b－12a.uuurBE＝uuurBC＋uuurCE＝a＋12b.uuurCF＝uurCA＋12uuurAB＝uurCA＋12(uuurAC＋uurCB)＝b＋12(－b－a)＝12b－12a.考点二在几何图形中用已知向量表示未知向量用已知向量表示其他向量的方法[类题通法]如图，四边形OADB是以向量uurOA＝a，uuurOB＝b为边的平行四边形．又uuurBM＝13uuurBC，uuurCN＝13uuurCD，试用a，b表示uuurOM，uuurON，uuurMN.[针对训练]解：∵uuurBM＝13uuurBC＝16uurBA＝16(uurOA－uuurOB)＝16(a－b)，∴uuurOM＝uuurOB＋uuurBM＝b＋16a－16b＝16a＋56b.∵uuurCN＝13uuurCD＝16uuurOD，∴uuurON＝uuurOC＋uuurCN＝12uuurOD＋16uuurOD＝23uuurOD＝23(uurOA＋uuurOB)＝23(a＋b)．∴uuurMN＝uuurON－uuurOM＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.考点三共线向量定理的应用[典例]设e1，e2是两个不共线向量，已知AB―→＝2e1－8e2，CB―→＝e1＋3e2，CD―→＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF―→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．[解](1)由已知得BD―→＝CD―→－CB―→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵AB―→＝2e1－8e2，∴AB―→＝2BD―→，又AB―→与BD―→有公共点B.∴A、B、D三点共线．(2)由(1)可知BD―→＝e1－4e2，由BF―→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，得BF―→＝λBD―→，即3e1－ke2＝λe1－4λe2得λ＝3，－k＝－4λ，解得k＝12.[类题通法]用向量共线定理求参数的方法(1)三点A，B，C共线问题：利用AB―→＝λAC―→构造方程求参数．(2)已知向量ma＋nb与ka＋pb(a与b不共线)共线求参数的值的步骤①设：设ma＋nb＝λ(ka＋pb)；②整：整理得ma＋nb＝λka＋λpb，故m＝λk，n＝λp；③解：解方程组得参数的值．[针对训练]1．如图，在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，AN―→＝13AC―→，判断B，M，N三点是否共线．解：∵D为BC的中点，∴AD―→＝12(AB―→＋AC―→)AM―→＝14(AB―→＋AC―→)．∴BM―→＝AM―→－AB―→＝－34AB―→＋14AC―→＝14(AC―→－3AB―→)．又BN―→＝AN―→－AB―→＝13AC―→－AB―→＝13(AC―→－3AB―→)则BM―→＝34BN―→，∴BM―→与BN―→共线且有公共点B∴B、M、N三点共线．2．设e1，e2是两个不共线的向量，已知uuurAB＝2e1＋ke2，uuurCB＝e1＋3e2，uuurCD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．解：由题意得uuurBD＝uuurCD－uuurCB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使得uuurAB＝λuuurBD.即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.由向量相等的条件，得2＝λ，k＝－4λ，∴k＝－8.