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考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量数量积的概念及其物理意义bb平面向量投影的概念aa平面向量数量积的性质及运算律bb知识导图学法指导1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用．2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫作a与b的数量积，记作____，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为____.几何意义|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的______．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的______|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ0投影乘积性质(1)a⊥b⇔________＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝____；当a与b反向时，a·b＝________；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(4)cosθ＝________；(5)|a·b|≤|a||b|a·b|a||b|－|a||b|a·b|a|·|b|运算律交换律：a·b＝____结合律：(λa)·b＝______＝______分配律：(a＋b)·c＝________b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c状元随笔关于向量数量积应注意的问题(1)若向量a→与b→的夹角为θ，θ＝0时，a→与b→同向；θ＝π时，a→与b→反向；θ＝π2时，a→⊥b→.(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．()(2)两个向量的数量积是向量．()(3)设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＞0⇔a·b＞0.()××√2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝()A.12B.32C．1D．－12解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cosθ＝1×1×12＝12.答案：A3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.7B.10C.13D．4解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝13.答案：C4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，cosθ＝a·b|a|·|b|＝21×4＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：π3类型一向量数量积的计算及其几何意义例1(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A.－58B.18C.14D.118(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．【解析】(1)设BA→＝a，BC→＝b，则a·b＝12，|a|＝|b|＝1.DE→＝12AC→＝12(b－a)，DF→＝32DE→＝34(b－a)，AF→＝AD→＋DF→＝－12a＋34(b－a)＝－54a＋34b，AF→·BC→＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cosθ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cosθ＝a·b|b|＝－125＝－125；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cosθ＝a·b|a|＝－123＝－4.【答案】(1)B(2)－125－4(1)先求AF→，再利用向量的数量积定义计算．(2)向量a→在向量b→方向上的投影为|a→|·cosθ＝a→·b→|b→|，向量b→在向量a→方向上的投影为|b→|·cosθ＝a→·b→|a→|.方法归纳向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．跟踪训练1本例1中，若DE的中点为G，求AG→·BC→.解析：AG→＝AD→＋DG→＝12AB→＋14AC→＝12AB→＋14(AB→＋BC→)＝34AB→＋14BC→，所以AG→·BC→＝34AB→·BC→＋14BC→2＝34×1×1×cos120°＋14×12＝－18.由已知先求AG→，再利用公式求AG→·BC→.类型二向量模的有关计算例2(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.13B.12C.15D.14【解析】(1)|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝23.(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝34，即1＋|b|2－|b|＝34，解得|b|＝12.【答案】(1)B(2)B求向量的模，先平方，利用公式求，再开方．方法归纳求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2(1)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________；(2)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：(1)因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．因为(a－b)⊥c，所以c·(a－b)＝0，所以－(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|b|＝|a|＝1.(2)因为α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，又|α|＝1，所以α·β＝12，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：(1)1(2)10将所给向量式两边平方，然后利用向量数量积的运算律及向量数量积的定义求解．类型三向量的夹角与垂直例3(1)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π6(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝12.①求|b|；②当a·b＝12时，求向量a与b的夹角θ的值．【解析】(1)设a，b的夹角为θ，因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，所以2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cosθ＝0.因为|b|＝4|a|，所以2|a|2＋4|a|2cosθ＝0，所以cosθ＝－12，所以θ＝23π.(2)①因为(a－b)·(a＋b)＝12，即a2－b2＝12，所以|b|2＝|a|2－12＝1－12＝12，故|b|＝22.②因为cosθ＝a·b|a||b|＝22，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.【答案】(1)C(2)见解析(1)利用a→⊥(2a→＋b→)⇔a→·(2a→＋b→)＝0，化简求解．(2)利用(a→－b→)(a→＋b→)＝12化简，求|b→|，再利用数量积变形公式求角．方法归纳求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤：(2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．跟踪训练3(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________；(2)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，①求向量a与b夹角的大小．②求|a－2b|的值．解析：(1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)①设a与b的夹角为θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cosθ－8＝0，所以cosθ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.②因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13，所以|a－2b|＝13.答案：(1)π3(2)见解析(1)将等式(a→＋2b→)·(a→－b→)＝－6化简，求得夹角．(2)利用向量垂直的性质：a→⊥b→⇔a→·b→＝0求解．