搜索
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示目标导航课标要求1.理解平面向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标,会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算,能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件,并会应用.素养达成1.通过平面向量坐标概念的学习,使学生养成直观想象和数学建模的核心素养.2.利用平面向量的坐标运算,达成学生的数学运算和逻辑推理的核心素养.3.通过对用坐标表示的平面向量共线的条件的研究,增强逻辑推理和数学建模的核心素养.新知导学课堂探究1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个的向量,叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y使得a=,则把有序数对叫做向量a的坐标.记作,此式叫做向量的坐标表示.(2)在直角坐标平面中,i=,j=,0=.互相垂直新知导学·素养养成单位向量xi+yj(x,y)a=(x,y)(1,0)(0,1)(0,0)思考1:与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点?提示:与x轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0);与y轴平行的向量的横坐标为0,即b=(0,y).思考2:已知向量OM=(-1,-2),M点的坐标与OM的坐标有什么关系?提示:坐标相同但写法不同:OM=(-1,-2),而M(-1,-2).3.平面向量的坐标运算向量的加、减法若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量的和(差)实数与向量的积若a=(x,y),λ∈R,则λa=,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的_____________向量的坐标已知向量AB的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则AB=,即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)相应坐标(λx,λy)相应坐标(x2-x1,y2-y1)思考3:在基底确定的条件下,给定一个向量.它的坐标是唯一的一对实数,给定一对实数,它表示的向量是否唯一?提示:不唯一,以这对实数为坐标的向量有无穷多个,这些向量都是相等向量.思考4:向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化吗?提示:不发生变化.向量确定以后,它的坐标就被唯一确定,所以向量在平移前后,其坐标不变.4.两个向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.则a∥b⇔a=λb⇔.x1y2-x2y1=0思考5:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,是否有12xx=12yy成立?提示:不一定.由于12xx=12yy的意义与x1y2-x2y1=0的意义不同,前者不允许x2和y2为零,而后者允许,当x1=x2=0,或y1=y2=0或x2=y2=0时,a∥b但12xx=12yy不成立.名师点津对两个向量共线条件的准确理解已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)当b≠0时,a=λb这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.(2)x1y2-x2y1=0这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具有代数化的特点,程序化的特征.(3)当x2y2≠0时,12xx=12yy,即两向量的相应坐标成比例.这种形式容易记忆.课堂探究·素养提升题型一平面向量的坐标表示[例1]已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量AB,AC,BC,BD的坐标.解:如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),所以C(1,3),D(12,32),所以AB=(2,0),AC=(1,3),BC=(1-2,3-0)=(-1,3),BD=(12-2,32-0)=(-32,32).方法技巧(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.互动探究:若本例中,当三角形边长与位置不变,E为AB的中点,G为三角形的重心时,如何求向量CE,AG,BG,GD的坐标?解:由于B(2,0),E(1,0),C(1,3),D(12,32),G(1,33),所以CE=(1-1,0-3)=(0,-3),AG=(1,33),BG=(1-2,33-0)=(-1,33),GD=(12-1,32-33)=(-12,36).[备用例1]已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标.解:由题知B,D分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos30°=32,y1=sin30°=12,所以B(32,12).x2=cos120°=-12,y2=sin120°=32,所以D(-12,32),所以AB=(32,12),AD=(-12,32).解析:(1)12AB=12(OB-OA)=12[(-5,-1)-(3,-2)]=12(-8,1)=(-4,12).所以12AB=(-4,12).故选A.题型二平面向量的坐标运算[例2](1)已知向量OA=(3,-2),OB=(-5,-1),则向量12AB的坐标是()(A)(-4,12)(B)(4,-12)(C)(-8,1)(D)(8,1)解析:(2)DA=DC+CB+BA=-CD-BC-AB=-(-1,4)-(m,n)-(2,3)=(-1-m,-7-n).故选B.(2)设AB=(2,3),BC=(m,n),CD=(-1,4),则DA等于()(A)(1+m,7+n)(B)(-1-m,-7-n)(C)(1-m,7-n)(D)(-1+m,-7+n)方法技巧平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.即时训练2-1:如图所示,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于点F,求DF的坐标.解:因为A(7,8),B(3,5),C(4,3),所以AB=(3-7,5-8)=(-4,-3),AC=(4-7,3-8)=(-3,-5).又因为D是BC的中点,所以AD=12(AB+AC)=12(-4-3,-3-5)=12(-7,-8)=(-72,-4).因为M,N分别为AB,AC的中点,所以F为AD的中点.所以DF=-FD=-12AD=-12(-72,-4)=(74,2).[备用例2]已知a=(-1,2),b=(2,1),求:(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)12a-13b.解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).(3)12a-13b=12(-1,2)-13(2,1)=(-12,1)-(23,13)=(-76,23).题型三平面向量坐标运算的应用[例3]已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及OP=OA+tAB.(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限?解:(1)OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t),若点P在x轴上,则2+3t=0,所以t=-23.若点P在y轴上,则1+3t=0,所以t=-13.若点P在第二象限,则130,230,tt所以-23t-13.解:(2)OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,所以331,332,tt该方程组无解.故四边形OABP不能为平行四边形.(2)四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求出t值;若不能,说明理由.方法技巧(1)如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标一定对应相等.当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同.(2)证明一个四边形为平行四边形,可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等.即时训练3-1:已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若AP=AB+λAC(λ∈R),试求λ为何值时,(1)点P在一、三象限角平分线上;解:设点P的坐标为(x,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+λ·AC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).因为AP=AB+λAC,所以235,317.xy则55,47.xy(1)若P在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,所以λ=12.解:(2)若P在第三象限内,则550,470,所以λ-1.(2)点P在第三象限内.[备用例3]已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP|=2|PB|,求点P的坐标.解:设P点坐标为(x,y),且|AP|=2|PB|.当P在线段AB上时,AP=2PB.所以(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),所以322,442,xxyy解得1,30,xy所以P点坐标为(13,0).当P在线段AB延长线上时,AP=-2PB.所以(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),所以322,442,xxyy解得5,8.xy综上所述,点P的坐标为(13,0)或(-5,8).(1)解析:设点C的坐标是(x,y),因为A,B,C三点共线,所以AB∥AC.因为AB=(8,12)-(1,-3)=(7,72),AC=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),所以7(y+3)-72(x-1)=0,整理得x-2y=7,经检验可知点(9,1)符合要求,故选C.题型四平面向量共线的坐标运算[例4](1)已知A(1,-3),B(8,12),且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是()(A)(-9,1)(B)(9,-1)(C)(9,1)(D)(-9,-1)(2)解:因为AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2).又因为2×2-4×1=0,所以AB∥CD.又因为AC=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),AB=(2,4),所以2×4-2×6≠0,所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,所以AB∥CD.(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线AB平行于直线CD吗?方法技巧三点共线的条件以及判断方法:若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:(1)直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是否为0;(2)任取两点构成向量,计算出两向量如AB,AC,再通过两向量共线的条件进行判断.即时训练4-1:已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?解:法一ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).得310,224,kk解得k=λ=-13.当k=-13时,ka+b与a-3b平行,这时ka