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1．相反向量定义是什么？2．任何向量与其相反向量是共线向量吗？3．向量的减法运算及其几何意义是什么？2．2向量的减法一、预习教材·问题导入1．相反向量与a的向量，叫做a的相反向量，记作.(1)规定：零向量的相反向量仍是；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝＝；(4)若a与b互为相反向量，则a＝，b＝，a＋b＝.[点睛]任何向量与其相反向量必是共线向量，只是方向相反，但长度不变．长度相等、方向相反－a零向量(－a)＋a－b－a00二、归纳总结·核心必记2．向量的减法(1)定义：向量a加上，叫作a与b的差，即a－b＝．求两个向量的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义：在平面内任取一点O，作uurOA＝a，uuurOB＝b，则向量a－b＝，如图所示．(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为，被减向量的终点为的向量．b的相反向量a＋(－b)差uurBA起点终点[点睛]透析差向量的作法(1)uurBA表示a－b，强调：差向量“箭头”指向被减向量．(2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较繁琐．作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个方向相同的向量之差等于0()(2)两个相反向量之和等于0()(3)在△ABC中，uuurBC＝a，uurCA＝b，则uuurAB＝a－b()√××2．下列运算中正确的是()A．uurOA－uuurOB＝uuurABB．uuurAB－uuurCD＝uuurDBC．uurOA－uuurOB＝uurBAD．uuurAB－uuurAB＝0解析：选CuurOA－uuurOB＝uurBA.三、基本技能·素养培优3．化简uuurOP－uuurQP＋uurPS＋uurSP的结果等于()A．uuurQPB．uuurOQC．uurSPD．uuurSQ答案：B4．在平行四边形ABCD中，向量uuurAB的相反向量为______．答案：uurBA，uuurCD[典例]如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－b，b－a，－a－b.[解](1)作uurOA＝a，uuurOB＝b，则uurBA＝a－b，uuurAB＝b－a(如图①)．考点一向量的减法及其几何意义(2)对于－a－b，有下列两种作法：法一：作uurOA＝－a，uuurOB＝b，则uurBA＝－a－b(如图②)．法二：作uurOA＝a，uuurOB＝b，再以uurOA，uuurOB为邻边作▱OACB，则uuurCO＝－a－b(如图③)．[类题通法]求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[针对训练]如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.解：法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作OA―→＝a，AB―→＝b，则OB―→＝a＋b，再作OC―→＝c，则CB―→＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作OA―→＝a，AB―→＝b，则OB―→＝a＋b，再作CB―→＝c，连接OC，则OC―→＝a＋b－c.[典例]化简：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→)．[解][法一统一成加法](AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→)＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→＝AB―→＋DC―→＋CA―→＋BD―→＝AB―→＋BD―→＋DC―→＋CA―→＝AD―→＋DA―→＝0.考点二向量的加、减法运算[法二“利用OA―→－OB―→＝BA―→”](AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→)＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→＝(AB―→－AC―→)－CD―→＋BD―→＝CB―→－CD―→＋BD―→＝DB―→＋BD―→＝0.[法三利用AB―→＝OB―→－OA―→]设O是平面内任意一点，则(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→)＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→＝(OB―→－OA―→)－(OD―→－OC―→)－(OC―→－OA―→)＋(OD―→－OB―→)＝OB―→－OA―→－OD―→＋OC―→－OC―→＋OA―→＋OD―→－OB―→＝0.[类题通法]1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．化简下列各式：(1)uuurAM＋uuurMC＋uurCA＝________；(2)uurOA＋uuurOC＋uuurBO＋uuurCO＝________；(3)uurOA－uuurOD＋uuurAD＝________；(4)uuurOP＋uuurMP－uuurON－uuurMN＝________.[针对训练]解析：(1)uuurAM＋uuurMC＋uurCA＝uuurAC＋uurCA＝0.(2)uurOA＋uuurOC＋uuurBO＋uuurCO＝uuurBO＋uurOA＋uuurOC＋uuurCO＝uurBA.(3)uurOA－uuurOD＋uuurAD＝uuurDA＋uuurAD＝0.(4)uuurOP＋uuurMP－uuurON－uuurMN＝(uuurOP－uuurON)＋(uuurMP－uuurMN)＝uuurNP＋uuurNP＝2uuurNP.答案：(1)0(2)uurBA(3)0(4)2uuurNP[典例]如图，已知向量uuurAD＝a，uuurAB＝b，满足|a|＝2，|b|＝2，且∠BAD＝60°，求|a－b|，|a＋b|.[解]由向量减法的三角形法则可知uuurBD＝a－b，uuurAC＝a＋b，在△ABD中，因为∠BAD＝60°，AD＝2，AB＝2，所以△ABD为等边三角形，四边形ABCD是菱形，∴BD＝2，即|a－b|＝2，AC＝23，即|a＋b|＝23.考点三向量加法、减法的综合应用(1)以向量uuurAB＝a，uuurAD＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为uuurAC＝a＋b，uuurBD＝b－a，uuurDB＝a－b.(2)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．[类题通法]1．设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，|uuurBC|2＝16，|uuurAB＋uuurAC|＝|uuurAB－uuurAC|，则|uuurAM|＝()A．8B．4C．2D．1[针对训练]解析：选C以uuurAB，uuurAC为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知uuurAD＝uuurAB＋uuurAC，uurCB＝uuurAB－uuurAC，因为|uuurAB＋uuurAC|＝|uuurAB－uuurAC|，所以|uuurAD|＝|uurCB|.又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|uuurAM|＝12|uuurBC|＝2.2．如果|uuurAB|＝8，|uuurAC|＝5，那么|uuurBC|的取值范围为________．解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．答案：[3,13]