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§1从位移、速度、力到向量一、预习教材·问题导入1．向量的定义是什么？2．向量的表示方法有哪些？3．相等向量定义是什么？4．什么是共线向量？1．向量的概念及表示方法(1)向量的定义既有又有向量．(2)向量的表示方法①具有和长度的线段，叫作有向线段．以A为起点，以B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段uuurAB的长度，记作______.大小方向方向uuurABuuurAB||二、归纳总结·核心必记②向量可以用来表示．有向线段的长度表示，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示．③向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用ra，rb，rc，…来表示．[点睛]用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．有向线段向量的大小向量的方向2．与向量有关的概念名称定义记法零向量长度为的向量称为零向量单位向量长度为的向量叫作单位向量相等向量长度且方向的向量，叫作相等向量向量a与b相等，记作共线向量(平行向量)如果表示两个向量的有向线段所在的直线，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量a与b平行或共线，记作零单位1相等相同平行或重合平行a＝ba∥b0[点睛](1)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(2)共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a≥0()(2)长度为1的向量是单位向量，它们一定是共线向量()(3)共线向量的方向必须相同()(4)单位向量的模都相等()×××√三、基本技能·素养培优2．下列各量中不是向量的是()A．浮力B．风速C．位移D．路程解析：选D路程没有方向．3．下列说法正确的是()A．零向量是长度为0、没有方向的向量B．任意两个单位向量长度相等、方向相同C．平行向量方向相同D．两个相等的向量起点不同时终点一定不同解析：选D零向量是长度为0、方向任意的向量，A不正确；任意两个单位向量长度相等，但方向不确定，B不正确；平行向量方向相同或相反，C不正确；相等向量长度相等且方向相同，当且仅当起点相同时，终点相同，D正确．4．如果对于任意的向量a，均有a∥b，则b为________．答案：0[典例]给出下列四个命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③在▱ABCD中，一定有AB―→＝CD―→；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4考点一向量有关概念的辨析[解析]若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑤不正确．所以不正确的是①②④，正确的是③.[答案]C[类题通法]1．判断一个量是否为向量应从两个方面入手(1)是否有大小；(2)是否有方向．2．理解零向量和单位向量(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．[针对训练]判断给出下列命题是否正确，并说明理由．(1)若|a||b|，则ab；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)向量uuurAB和向量BA―→的长度相等；(4)若a＝b，则a与b是共线向量；(5)若量uuurAB与向量uuurCD是共线向量，则A，B，C，D四点共线．解：(1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；(3)正确．向量uuurAB与BA―→的长度都等于线段AB的长度，故(3)正确．(4)正确．若a＝b，说明向量a与b的模相等，且方向相同，是共线向量．(5)不正确．若向量uuurAB向量uuurCD是共线向量，则向量uuurAB与uuurCD所在的直线平行或重合．因此，A、B、C、D不一定共线．[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA―→，使|OA―→|＝42，点A在点O北偏东45°；(2)AB―→，使|AB―→|＝4，点B在点A正东；(3)BC―→，使|BC―→|＝6，点C在点B北偏东30°.考点二向量的表示[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA―→|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA―→如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB―→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB―→如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC―→|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC―→如图所示．[类题通法]用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．[针对训练]已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10002km到达D地．(1)作出向量AB―→，BC―→，CD―→，DA―→；(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？解：(1)向量AB―→，BC―→，CD―→，DA―→如图所示．(2)由图知，D地在A地的东南方向，距A地10002km.[典例]如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．(1)找出与向量uuurAB共线的向量；(2)找出与向量uuurAB相等的向量．[解](1)依据图形可知uuurDC，uuurED，uuurEC与uuurAB方向相同，uurBA，uuurCD，uuurDE，uuurCE与uurBA方向相反，所以与向量uuurAB共线的向量为uurBA，uuurCD，uuurDC，uuurED，uuurDE，uuurEC，uuurCE.(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知uuurDC，uuurED与uuurAB长度相等且方向相同，所以与向量uuurAB相等的向量为uuurDC和uuurED.考点三共线向量或相等向量[类题通法]寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．[针对训练]如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是()A．|AB―→|＝|EF―→|B．AB―→与FH―→共线C．BD―→＝EH―→D．DC―→与EC―→共线解析：由题意知，AB＝EF，∴A成立；又AB∥FH，DC与EC共线都成立，∴B，D成立．而BD不一定等于EH，故C不一定成立．答案：C