2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5 夹角的计算课件 北师大版选修2-1

一、直线间的夹角设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2，α为l1与l2的夹角．二、平面间的夹角1．定义：如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R，我们把叫作平面π1与π2的夹角．2．与平面法向量的关系设平面π1和π2的法向量分别为n1、n2，θ为两个平面的夹角，θ＝，0≤〈n1，n2〉≤π2，，π2〈n1，n2〉≤π.直线l1和l2的夹角〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉三、直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.[疑难提示]异面直线夹角与向量夹角的差异根据异面直线的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)．[想一想]1．如何用向量求平面间的夹角？2．如何用向量求直线与平面的夹角？提示：设平面π1和π2的夹角为θ，其法向量分别为n1和n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|.提示：若直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.则sinθ＝|cos〈s，n〉|＝|s·n||s||n|.[练一练]3．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为()A.24B.12C.22D.32解析：因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝s1·s2|s1||s2|＝－1－22×3＝－22.又两直线夹角的取值范围为0，π2，所以l1和l2夹角的余弦值为22.答案：C4．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是()A．cosθ＝n·a|n||a|B．cosθ＝|n·a||n||a|C．sinθ＝n·a|n||a|D．sinθ＝|n·a||n||a|解析：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90˚或θ＝90˚－β，故选D.答案：D5．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，v＝(－1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．解析：∵cos〈n，v〉＝n·v|n||v|＝－12·2＝－12，∴〈n，v〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.答案：60°探究一求异面直线所成的角[典例1]如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD与平面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝π3，DC＝DD1＝2，DA＝3，∠ADC＝π2，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0,0)，D1(0,1，3)，C(0,2,0)，D(0,0,0)由AA1→＝DD1→得A1(3，1，3)．∴A1C→＝(－3，1，－3)，D1A→＝(3，－1，－3)，∴cos〈A1C→，D1A→〉＝A1C→·D1A→|A1C→|·|D1A→|＝－3，1，－3·3，－1，－37·7＝－17.∴异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为17.1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a，b〉．但两异面直线的夹角范围是0，π2，所以当〈a，b〉∈π2，π时，两异面直线的夹角应为π－〈a，b〉．2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解．1．如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值．解析：以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，O1(0,1，3)，A(3，0,0)，A1(3，1，3)，B(0,2,0)，∴A1B→＝(－3，1，－3)，O1A→＝(3，－1，－3)．∴|cos〈A1B→，O1A→〉|＝|A1B→·O1A→||A1B→||O1A→|＝|－3，1，－3·3，－1，－3|7·7＝17.∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为17.2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．解析：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．又∵∠PDA＝30°，∴AP＝AD·tan30°＝2a·33＝233a，AE＝AD·sin30°＝2a·12＝a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝a2，EF＝32a.∴P0，0，233a，E0，12a，32a.(1)证明：BE→＝－a，12a，32a，PD→＝0，2a，－233a，∴BE→·PD→＝0＋a2－a2＝0.∴BE→⊥PD→，∴BE⊥PD.(2)AE→＝0，12a，32a，CD→＝(－a，a,0)．则cos〈AE→，CD→〉＝AE→·CD→|AE→||CD→|＝12a22a·a＝24，即AE与CD的夹角的余弦值为24.探究二求二面角[典例2]如图，在空间直角坐标系中有直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC，求平面A1BD与平面C1BD夹角的余弦值．[解析]解法一设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)，∴DA1→＝(1,0,2)，DB→＝(1,1,0)．设n＝(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，由n⊥DA1→，n⊥DB→，得x＋2z＝0x＋y＝0.令z＝1得n＝(－2,2,1)．又DC1→＝(0,2,2)，设m＝(x1，y1，z1)为平面C1BD的一个法向量，由m⊥DC1→，m⊥DB→，得2y1＋2z1＝0x1＋y1＝0.取z1＝1，则m＝(1，－1,1)．设m与n的夹角为α，则平面A1BD与平面C1BD的夹角为π－α，∴cosα＝m·n|m||n|＝－33×9＝－33，∴cos(π－α)＝－cosα＝33.即所求平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值为33.解法二设DA＝a，由题意知：D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0,2a,0)，C1(0,2a,2a)，A1(a,0,2a)，D1(0,0,2a)，取DB的中点F，DC1的中点M，连接A1F，FM，由题意得F(a2，a2，0)，M(0，a，a)，∴FA1→＝(a2，－a2，2a)，FM→＝(－a2，a2，a)，DB→＝(a，a,0).FA1→·DB→＝(a2，－a2，2a)·(a，a,0)＝0，FM→·DB→＝(－a2，a2，a)·(a，a,0)＝0，∴FA1⊥DB，FM⊥DB.∴∠A1FM即为所求平面A1BD与平面C1BD的夹角．∴cos∠A1FM＝FA1→·FM→|FA1→||FM→|＝a2，－a2，2a·－a2，a2，a32a2·6a2＝－a24－a24＋2a233a22＝33.即所求平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值为33.1．两平面夹角的向量求法(1)若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量AB→与CD→的夹角．如图①.(2)设n1、n2分别是平面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小．如图②.2．求两个平面夹角的几何法的一般步骤(1)找出或作出平面角；(2)证明它符合定义；(3)通过解三角形计算．3．与两个平面夹角有关的问题中作平面角的常用方法(1)根据定义找出两个平面夹角的平面角；(2)根据三垂线定理或其逆定理作出两个平面的平面角；(3)作两个平面公共棱的垂面，则垂面和两个平面的交线所成的角即是两个平面的平面角；(4)利用投影面积公式cosα＝S投影S原求两个平面夹角的大小．3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝CD＝7，点E为线段AD上一点．现将△DCE沿线段EC翻折到△PCE(点D与点P重合)位置，连接PA，PB，使得平面PAC⊥平面ABCE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)如图，设AC，BD交于点O.∵AB＝AD＝4，BC＝CD＝7，∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC＝∠BAC.∴AC⊥BD.又平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE＝AC，∴BD⊥平面PAC.(2)以点O为坐标原点，直线OA，OB分别为x轴、y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可设点P(x,0，z)．∴A(23，0,0)，B(0,2,0)，C(－3，0,0)，E(3，－1，0)，AB→＝(－23，2,0)．又PE＝2，PC＝7，∴x－32＋12＋z2＝4x＋32＋z2＝7，∴x＝33z＝153，∴P33，0，153，则AP→＝－533，0，153.设平面PAB的法向量为n＝(a，b，c)，由AP→·n＝0AB→·n＝0，得c＝5ab＝3a，故可取n＝(1，3，5)．易得平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，设二面角P－AB－C的大小为θ，由图知二面角P－AB－C为锐角，∴cosθ＝|m·n||m||n|＝53.探究三求直线与平面所成的角直线与平面所成的角的求法——用线面角的定义求线面角—用向量法求线面角—用法向量法求线面角4.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角．解析：解法一连接BC1，交B1C于点O，连接A1O，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD的夹角．设正方体的边长为1，那么在Rt△A1OB中，A1B＝2，BO＝22，∴sin∠BA1O＝BOA1B＝12，∴∠BA1O＝30°.即A1B与平面A1B1CD的夹角是30°.解法二如图所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则有D(0，0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，∴A1B→＝(0,1，－1)，A1D→＝(－1，0，－1)，A1B1→＝(0,1,0)．设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)．由n⊥A1D→n⊥A1B1→⇒n·A1D→＝0n·A1B1→＝0⇒x＋z＝0y＝0.令x＝1，则有y＝0，z＝－1，可得n＝(1,0，－1)．设A1B与平面A1B1CD的夹角是θ，则sinθ＝|cos〈A1B→，n〉|＝|A1B→·n|A1B→||n||＝12，所以A1B与平面A1B1CD的夹角是30°.5．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角．解析：解法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0，0，2a)，C1(－32a，a2，2a)，取A1B1的中点M，则M(0，a2，2a)，连接AM、MC1，有MC1→＝