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一、直线、平面间的平行、垂直设空间中两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，平面α的法向量为n，则：平行垂直l1与l2l1与α二、线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的，则该直线与此平面垂直．e1∥e2e1⊥e2e1⊥ne1∥n两条相交直线三、面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都于另一个平面，则这两个平面平行．四、面面垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的，则这两个平面垂直．五、三垂线定理1．文字语言：若平面内的一条直线垂直于的一条直线在该平面上的，则这两条直线垂直．平行一条垂线平面外投影2．几何语言b平面αc是b在平面α内的投影⇒a⊥b3．图形语言aαa⊥c[疑难提示]平行关系的判定与证明、垂直关系的证明(1)证明线面平行常用的方法①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面．②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行．③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明面面平行常用的方法①证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面．②证明两个平面的法向量平行．③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问题．(4)用向量法证明线段垂直证明两直线的方向向量垂直．(5)用向量法证明线面垂直设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量．①a∥n，则线面垂直．②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c.(6)用向量法证明面面垂直①转化为证线面垂直．②证两平面的法向量垂直．[想一想]1．三垂线定理的作用是什么？提示：三垂线定理的结论跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，在证明线线垂直问题时，非常简捷．[练一练]2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝－16，13，－1，n＝12，－1，3，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．答案：D探究一三垂线定理在证明垂直问题中的应用[典例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的投影O1是△BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的投影O2必是△ACD的垂心．[证明]连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交．∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC.又AO1⊥平面BCD，∴DO1是AD在平面BCD内的投影，∴BC⊥AD(三垂线定理)．∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，∴CO2是BC在平面ACD内的投影，∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．三垂线定理的证明要用向量法，但在使用三垂线定理时，与向量无关，是纯几何问题．应用定理的关键是：一定面，二查线，三垂直，问题即可解决．1.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．求证：A1E⊥平面AED.证明：∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，∴D1A1，D1C1，D1D两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz.则D(0,0,2)，A(2，0,2)，E(2，1,1)，A1(2，0,0)，∴DA→＝(2，0,0)，AE→＝(0,1，－1)，A1E→＝(0,1,1)，∴A1E→·DA→＝0，A1E→·AE→＝0，∴A1E⊥DA，A1E⊥AE，又DA∩AE＝A，∴A1E⊥平面AED.2.(1)已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.(2)在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明：(1)因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB.所以∠AOC＝∠AOB.因为OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|OA→||OC→|cos∠AOC－|OA→||OB→|·cos∠AOB＝0，所以OA→⊥BC→，所以OA⊥BC.(2)以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，所以EF→＝(0，－1，－1)，EG→＝(1，－1，－1)．设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥EF→，n⊥EG→.所以y＋z＝0，x－y－z＝0，令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．显然PA→＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．因为n·PA→＝0，所以n⊥PA→，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直．所以平面EFG⊥平面PBC.探究二求平面的法向量[典例2]如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，求平面EFBD的一个法向量．[解析]∵D(0,0,0)、B(2,2,0)、E(1,0,2)，∴DB→＝(2,2,0)，DE→＝(1,0,2)．设平面EFBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴n·DB→＝0n·DE→＝0⇔2x＋2y＝0x＋2z＝0⇔y＝－xz＝－12x.令x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面EFBD的一个法向量．若要求出一个平面的法向量，一般要根据空间直角坐标系，用待定系数法求解，一般步骤为：(1)设出平面法向量n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根据法向量定义建立关于x，y，z的方程组：n·a＝xa1＋yb1＋zc1＝0，n·b＝xa2＋yb2＋zc2＝0；(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．3．已知平面α经过A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)三点，试求平面α的一个法向量．解析：∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n＝(x，y，z)，依题意，应有n·AB→＝0n·AC→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0，解得z＝0，x＝2y.令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．4．(1)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，求出平面ABC的一个法向量．(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：DB1→是平面ACD1的一个法向量．解析：(1)设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．因为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)．所以AB→＝(－2,1,3)，BC→＝(1，－1,0)．则有n·AB→＝0，n·BC→＝0，即－2x＋y＋3z＝0，x－y＝0，解得x＝3z，x＝y.令z＝1，则x＝y＝3.故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．(答案不唯一)(2)证明：设正方体的棱长为1，分别以DA→，DC→，DD1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB1→＝(1,1,1)，AC→＝(－1,1,0)，AD1→＝(－1,0,1)，于是有DB1→·AC→＝0，所以DB1→⊥AC→，即DB1⊥AC，同理DB1⊥AD1.又AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，从而DB1→是平面ACD1的一个法向量．探究三利用向量证明平行与垂直利用向量证明平行与垂直——线面平行—面面平行—线线垂直—线面垂直—面面垂直5.如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCDA1B1C1D1，O1是B1D1的中点，证明：BO1∥平面ACD1.证明：设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)、D1(0,0,2)、C(0,2,0)、O1(1,1,2)、B(2,2,0)，∴AD1→＝(－2,0,2)，CD1→＝(0，－2,2)，BO1→＝(－1，－1,2)．证法一设BO1→＝λAD1→＋μCD1→，则λ(－2,0,2)＋μ(0，－2,2)＝(－1，－1,2)，∴－2λ＝－1－2μ＝－12λ＋2μ＝2，解得λ＝μ＝12.∴BO1→＝12AD1→＋12CD1→⇒BO1→与AD1→、CD1→共面，∴BO1→∥平面ACD1.又BO1⃘平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.证法二设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，由n·AD1→＝0n·CD1→＝0⇒－2x＋2z＝0－2y＋2z＝0.令x＝1可得：y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)．∵BO1→·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，∴BO1→⊥n，∴BO1→∥平面ACD1.又BO1⃘平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.6.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD.证明：证法一由空间直角坐标系可知：A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，连接AG，QK，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)．∴MN→＝(2,2,0)，EF→＝(2,2,0)，AG→＝(－1,1,4)，QK→＝(－1,1,4)．可见MN→＝EF→，AG→＝QK→，∴MN∥EF，AG∥QK.∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.又MN∩AG＝G，∴平面AMN∥平面EFBD.证法二由证法一得AM→＝(－2,0,4)，MN→＝(2,2,0)，DE→＝(0,2,4)，EF→＝(2,2,0)．设平面AMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AM→＝0，n1·MN→＝0，即－2x1＋4z1＝0，2x1＋2y1＝0，即z1＝12x1，y1＝－x1.令x1＝1，则n1＝(1，－1，12)．设平面EFBD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·EF→＝0，n2·DE→＝0，即2x2＋2y2＝0，2y2＋4z2＝0，即x2＝－y2，z2＝－12y2，令x2＝1，则n2＝(1，－1，12)．∴n1＝n2，∴平面AMN∥平面EFBD.7.如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；(2)求证：EG与直线PG与BC都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P－xyz.则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．于是EF→＝(0，－1，－1)，EG→＝(1，－1，－1)．设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥EF→n⊥EG→，∴y＋z＝0x－y－z＝0，可取n＝(0,1，－1)．显然PA→＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．又n·PA→＝0，∴n⊥PA→，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，∴平面GEF⊥平面PBC.(2)由(1)，知EG→＝(1，－1，－1)，PG→＝(1,1,0)，BC→＝(0，－3,3)，∴EG→·PG→＝0，EG→·BC→＝0，∴EG⊥