2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 4 第一课时 空间向量与平行关系课件 北

§4用向量讨论垂直与平行一、预习教材·问题导入已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1∥u2∥n1.问题2：若l1⊥l2，l1∥π2呢？提示：u1⊥u2，u1⊥n2.问题3：若π1∥π2，则n1，n2有什么关系？提示：n1∥n2.二、归纳总结·核心必记1．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，则线线平行__________________________线面平行___________________________面面平行_____________________________________线线垂直________________线面垂直_________________________________面面垂直________________________________l∥m⇔a＝kb(k∈R)l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)l⊥m⇔a·b＝0l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02．三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的，则这两条直线垂直．3．面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的，则这两个平面垂直．投影一条垂线1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l的方向向量是惟一的()(2)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则AB―→·n＝0()(3)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行()答案：(1)×(2)√(3)√2．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A．(2,2,6)B．(－1,1,3)C．(3,1,1)D．(－3,0,1)答案：A3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2答案：C4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．答案：垂直第一课时空间向量与平行关系考点一由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系[典例](1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．(2)设n1，n2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据下列条件判断π1，π2的位置关系：①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－12)；②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)；③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断π和l的位置关系：①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．[解](1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－13b.∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a与b不共线，也不垂直．∴l1与l2的位置关系是相交或异面(不垂直)．(2)①∵n1＝(1，－1,2)，n2＝3，2，－12，∴n1·n2＝3－2－1＝0.∴n1⊥n2，∴π1⊥π2.②∵n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)，∴n1＝－35n2，∴n1∥n2.∴π1∥π2.③∵n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)，∴n1与n2既不共线，也不垂直．∴平面π1和π2相交(不垂直)．(3)①∵n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴n·a＝－6＋8－2＝0.∴n⊥a.∴直线l和平面π的位置关系是lπ或l∥π.②∵n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴n＝－14a.∴n∥a.∴l⊥π.③∵n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴n和a既不共线，也不垂直．∴l与π斜交．[类题通法]用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．[针对训练]1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，若a·b＝0，则()A．l∥πB．lπC．l⊥πD．lπ或l∥π解析：当a·b＝0时，lπ或l∥π.答案：D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，则E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)．∴EF―→＝(0,1，－1)，GH―→＝(0,1，－1)．∴EF―→＝GH―→.∴EF―→∥GH―→.又∵G∉EF，∴EF∥GH.考点二用空间向量证明线面平行问题[典例]如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OA＝OP，OP⊥平面ABC.求证：OD∥平面PAB.[证明]法一：因为AB＝BC，O为AC的中点，所以OB⊥AC，OA＝OB＝OC，如图，建立空间直角坐标系，设OA＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a，0,0)，P(0,0，a)，D－a2，0，a2，所以OD―→＝－a2，0，a2.设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)．则n·PA―→＝0，n·AB―→＝0.由于PA―→＝(a,0，－a)，AB―→＝(－a，a,0)，所以ax－az＝0，－ax＋ay＝0.令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)，所以OD―→·n＝－a2＋a2＝0，所以OD―→⊥n，因为OD不在平面PAB内，所以OD∥平面PAB.法二：因为O，D分别是AC，PC的中点，所以OD―→＝CD―→－CO―→＝12CP―→－12CA―→＝12AP―→，所以OD―→∥AP―→，即OD∥AP，OD⃘平面PAB，PA面PAB，所以OD∥平面PAB.[类题通法]用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外．[针对训练]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN―→＝12，0，12，DA1―→＝(1,0,1)，DB―→＝(1,1,0)，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·DA1―→＝0且n·DB―→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN―→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN―→⊥n.∴MN∥平面A1BD.法二：∵MN―→＝C1N―→－C1M―→＝12C1B1―→－12C1C―→＝12(D1A1―→－D1D―→)＝12DA1―→，∴MN―→∥DA1―→.又DA1平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.考点三用空间向量证明面面平行[典例]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD.[证明]法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，连AG，QK，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)．∴MN―→＝(2,2,0)，EF―→＝(2,2,0)，AG―→＝(－1,1,4)，QK―→＝(－1,1,4)．可见MN―→＝EF―→，AG―→＝QK―→，∴MN∥EF，AG∥QK.又MN⃘平面EFBD，AG⃘平面EFBD.∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.又MN∩AG＝G，∴平面AMN∥平面EFBD.法二：由法一得AM―→＝(－2,0,4)，MN―→＝(2,2,0)，DE―→＝(0,2,4)，EF―→＝(2,2,0)．设平面AMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AM―→＝0，n1·MN―→＝0，即－2x1＋4z1＝0，2x1＋2y1＝0，即z1＝12x1，y1＝－x1.令x1＝1，则n1＝1，－1，12.设平面BDEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·EF―→＝0，n2·DE―→＝0，即x2＋y2＝0，2y2＋4z2＝0，即x2＝－y2，z2＝－12y2，令x2＝1，则n2＝1，－1，12.∴n1＝n2.∴平面AMN∥平面BDEF.[类题通法]用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．[针对训练]如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.证明：如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由条件知B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，Ga2，1，4.所以BA―→＝(a,0,0)，BD―→＝(0,2,2)，B1D―→＝(0,2，－2)，EG―→＝a2，1，1，EF―→＝(0,1,1)．法一：∵B1D―→·BA―→＝0，B1D―→·BD―→＝0＋4－4＝0，所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.因BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.又B1D―→·EG―→＝0＋2－2＝0，B1D―→·EF―→＝0＋2－2＝0.所以B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.法二：设平面EGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·EF―→＝0，n1·EG―→＝0，即x＝0，y＝－z，令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．设平面ABD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·BA―→＝0，n2·BD―→＝0，即x＝0，y＝－z，令y＝1，则n2＝(0,1，－1)．所以n1＝n2.所以平面EGF∥平面ABD.