2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 4 第二课时 空间向量与垂直关系课件 北

第二课时空间向量与垂直关系考点一用空间向量证明线线垂直[典例]直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点，在DD1上存在一点N，使MN⊥DC1，试确定N点位置．[解]建立空间直角坐标系，如图．则C1(0,2,3)，M12，2，0，D(0,0,0)，∴DC1―→＝(0,2,3)．设点N(0,0，h)，则MN―→＝－12，－2，h.∵MN⊥DC1，则MN―→·DC1―→＝－12，－2，h·(0,2,3)＝－4＋3h＝0.∴h＝43，则N0，0，43.故N点在DD1上且|DN|＝43时，有MN⊥DC1.[类题通法]用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a，b的数量积为零，即a·b＝0.若图形易于建立空间直角坐标系，则可用坐标法进行证明，否则可用基向量分别表示a，b后进行证明．[针对训练]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，BB1＝6，M为CC1中点，求证：AM⊥BA1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(1,0,0)，A(0，3，0)，B1(0,0，6)，A1(0，3，6)，C1(1，0，6)．∵M为CC1的中点，∴M1，0，62.∴AM―→＝1，－3，62，BA1―→＝(0，3，6)．∴AM―→·BA1―→＝1×0－3＋62×6＝0.∴AM―→⊥BA1―→，即AM⊥BA1.考点二用空间向量证明线面垂直[典例]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.[证明]如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0，2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)．于是OB1―→＝(1,1,2)，AC―→＝(－2,2,0)，AP―→＝(－2,0,1)．由于OB1―→·AC―→＝－2＋2＝0，OB1―→·AP―→＝－2＋2＝0.所以OB1⊥AC，OB1⊥AP.又AC面PAC，AP面PAC，且AC∩AP＝A，所以OB1⊥平面PAC.[类题通法]用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理．[针对训练]1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.证明：建立如图所示坐标系，令正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1，1,1)，C(0,1,0)，E1，1，12，F12，12，1，则AB1―→＝(0,1,1)，AC―→＝(－1,1,0)，EF―→＝－12，－12，12.法一：令平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB1―→＝0，n·AC―→＝0，得：z＝－y，x＝y，令y＝1得n＝(1,1，－1)＝－2－12，－12，12＝－2EF―→，∴n∥EF―→，∴EF⊥平面B1AC.法二：∵EF―→＝－12，－12，12，B1A―→＝(0，－1，－1)，B1C―→＝(－1,0，－1)，又EF―→·B1A―→＝0，EF―→·B1C―→＝0，∴EF⊥B1A，EF⊥B1C又B1C∩B1A＝B1，∴EF⊥平面B1AC.2．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD.证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，OB―→，OO1―→，OA―→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)，∴AB1―→＝(1,2，－3)，BD―→＝(－2,1,0)，BA1―→＝(－1,2，3)．∵AB1―→·BD―→＝－2＋2＋0＝0，AB1―→·BA1―→＝－1＋4－3＝0，∴AB1―→⊥BD―→，AB1―→⊥BA1―→.即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.考点三用空间向量证明面面垂直[典例]在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.[证明]建立空间直角坐标系如图，设AB＝a，则BD＝3a，于是A(0,0，a)，B(0,0,0)，C32a，32a，0，D(0，3a,0)，E34a，34a，a2，F0，32a，a2，法一：可得EF―→＝－34a，34a，0，BA―→＝(0,0，a)，BC―→＝32a，32a，0，∴EF―→·BA―→＝0，EF―→·BC―→＝0.即EF⊥AB，EF⊥BC.又AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC.又EF平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF.法二：∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∴CD―→＝－32a，32a，0为平面ABC的一个法向量．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，∴n·EF―→＝0，即(x，y，z)·－34a，34a，0＝0.∴x＝y.由n·BF―→＝0，即(x，y，z)·0，32a，a2＝0，有32ay＋a2z＝0，∴z＝－3y.取y＝1，得n＝(1,1，－3)．∵n·CD―→＝(1,1，－3)·－32a，32a，0＝0，∴n⊥CD―→.∴平面BEF⊥平面ABC.[类题通法]用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直．[针对训练]1．已知：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：平面DEA⊥平面A1FD1.证明：建立空间直角坐标系如图．令DD1＝2，则有D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2，0,2)，F(0,1,0)，E(2,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面DEA，平面A1FD1的法向量，则n1⊥DA―→，n1⊥DE―→.∴x1，y1，z1·2，0，0＝0，x1，y1，z1·2，2，1＝0，∴x1＝0，2y1＋z1＝0.令y1＝－1，得n1＝(0，－1,2)．同理可得n2＝(0,2,1)．∴n1·n2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知n1⊥n2.∴平面DEA⊥平面A1FD1.2．在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，E12，12，12.法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为12，12，0.易知AS―→＝(0,0,1)，OE―→＝0，0，12，∴OE―→＝12AS―→，∴OE∥AS.又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．易知BD―→＝(－1,1,0)，BE―→＝－12，12，12，∴n1⊥BD―→，n1⊥BE―→，即n1·BD―→＝－x＋y＝0，n1·BE―→＝－12x＋12y＋12z＝0.令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．∵AS⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝AS―→＝(0,0,1)．∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.