2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3

一、空间向量基本定理、标准正交基与向量坐标二、坐标的意义1．投影的定义：一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝为向量在向量上的投影．2．坐标的意义：向量的坐标等于它在上的投影．|a|cos〈a，b〉ab坐标轴正方向[疑难提示]对基底的正确理解(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.(3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成．[想一想]1．与坐标轴或坐标平面垂直的向量的坐标有何特点？提示：xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0，y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0，z)．另外还要注意向量OP→的坐标与点P的坐标相同．[练一练]2．已知ABCD­A′B′C′D′是棱长为2的正方体，E、F分别是BB′、B′D′的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E的坐标为__________，点F的坐标为________．解析：由正方体的性质可知，EB⊥平面ABCD，如图，取BD中点G，连接FG，则FG⊥平面ABCD，则E、F的横纵坐标分别为点B、G的横纵坐标，E、F的竖坐标分别为BE、GF.又正方体的棱长为2，故BE＝1，GF＝2.因此点E的坐标为(2,2,1)，点F的坐标为(1,1,2)．答案：(2,2,1)(1,1,2)探究一空间基底的判定[典例1]已知{a，b，c}是空间的一个基底，从a、b、c中选择哪一个向量，一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底？[解析]因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a、b、c三个向量一定不共面，因为p＝a＋b，q＝a－b，所以p、q与a、b共面，所以只能是向量c与p＝a＋b，q＝a－b构成空间的一个基底，否则，c与p、q共面，则与a、b共面，这与已知矛盾，所以向量c与p＝a＋b，q＝a－b构成空间的一个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}，则其中可以作为空间的基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：结合正方体可知向量x、y、z不共面，b、c、z和x、y、a＋b＋c也不共面．答案：C2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA→，BM→，BN→不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由BA→，BM→，BN→不能构成空间的一个基底，知BA→，BM→，BN→共面．又BA→，BM→，BN→过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝λka＋μkb，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.答案：D探究二空间向量的坐标表示[典例2]在直三棱柱ABO­A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO→、A1B→的坐标．[解析]∵DO→＝－OD→＝－(OO1→＋O1D→)＝－[OO1→＋12(OA→＋OB→)]＝－OO1→－12OA→－12OB→.又|OO1→|＝4，|OA→|＝4，|OB→|＝2，∴DO→＝(－2，－1，－4)．∵A1B→＝OB→－OA1→＝OB→－(OA→＋AA1→)＝OB→－OA→－AA1→.又|OB→|＝2，|OA→|＝4，|AA1→|＝4，∴A1B→＝(－4,2，－4)．(1)空间向量坐标表示的关键是根据几何体特征建立适当的空间直角坐标系，利用向量的线性运算最后写成标准正交基的线性组合．(2)以原点为起点的向量的坐标就是向量终点的坐标．3．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.求MN→，DC→的坐标．解析：因为PA＝AD＝AB，且PA⊥平面AC，AD⊥AB，所以可设DA→＝e1，AB→＝e2，AP→＝e3.建立如图所示的空间直角坐标系．因为MN→＝MA→＋AP→＋PN→＝MA→＋AP→＋12PC→＝MA→＋AP→＋12(PA→＋AD→＋DC→)＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，所以MN→＝－12，0，12，DC→＝(0,1,0)．4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，A1C，如图建立空间直角坐标系．(1)求A1B→与B1C→的坐标；(2)求A1C→在平面ABCD上的投影．解析：(1)设i，j，k分别为DA→，DC→，DD1→方向上的单位向量，则A1B→＝AB→－AA1→＝DC→－DD1→＝4j－3k，B1C→＝B1B→＋B1C1→＝－DD1→－DA→＝－4i－3k，∴A1B→＝(0,4，－3)，B1C→＝(－4,0，－3)．(2)连接AC(图略)，则A1C→在平面ABCD上的投影为|A1C→|·cos∠A1CA＝|AC→|＝42.探究三空间向量基本定理及其应用空定间理向及量其基应本用——用基底表示向量—构造方程求参数值—求线段长度—求向量夹角5.已知在空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用向量a、b、c表示向量OG→和GH→.解析：∵OG→＝OA→＋AG→，而AG→＝23AD→，AD→＝OD→－OA→，又D为BC中点，∴OD→＝12(OB→＋OC→)，∴OG→＝OA→＋23AD→＝OA→＋23(OD→－OA→)＝OA→＋23×[12(OB→＋OC→)－OA→]＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13(a＋b＋c)．而GH→＝OH→－OG→，又∵OH→＝23OD→＝23×12(OB→＋OC→)＝13(b＋c)，∴GH→＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a.∴OG→＝13(a＋b＋c)，GH→＝－13a.6．已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．(1)BD′→＝xAD→＋yAB→＋zAA′→；(2)AE→＝xAD→＋yAB→＋zAA′→.解析：(1)如图，BD′→＝BD→＋DD′→＝BA→＋BC→＋DD′→＝－AB→＋AD→＋AA′→，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)AE→＝AA′→＋A′E→＝AA′→＋12A′C′→＝AA′→＋12A′B′→＋12A′D′→＝AA′→＋12AB→＋12AD→，∴x＝12，y＝12，z＝1.7.如图，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设AB→＝a，AD→＝b，AP→＝c.(1)用向量a，b，c表示BM→；(2)在如图所示的空间直角坐标系中，求BM→的坐标．解析：(1)∵BM→＝BC→＋CM→，BC→＝AD→，CM→＝12CP→，CP→＝AP→－AC→，AC→＝AB→＋AD→，∴BM→＝AD→＋12(AP→－AC→)＝AD→＋12AP→－12(AB→＋AD→)＝－12AB→＋12AD→＋12AP→＝－12a＋12b＋12c.(2)a＝AB→＝(1,0,0)，b＝AD→＝(0,1,0)．∵A(0,0,0)，O12，12，0，P12，12，1，∴c＝AP→＝OP→－OA→＝12，12，1，∴BM→＝－12a＋12b＋12c＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋1212，12，1＝－14，34，12.求向量投影时因不明两向量的夹角致误[典例]如图，已知四边形ABCD是正方形，若PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝1，求：(1)向量PD→在PA→上的投影；(2)向量PC→在AP→上的投影．[解析](1)PD→在PA→上的投影为|PD→|cos∠APD＝|PA→|＝1.(2)向量PC→与AP→的夹角为π－∠APC，故PC→在AP→上的投影为|PC→|cos(π－∠APC)＝－|PA→|＝－1.[错因与防范]本例(2)易误认为PC→与AP→的夹角为∠APC致误，在不建立坐标系的情况下，求一个向量在另一个向量上的投影或求两向量的数量积，一定要搞清两向量的夹角，可把一个向量平移使两向量有公共起点再确定其夹角．