2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算课件 北师大版选修2-

一、空间向量的运算空间向量的运算定义(或法则)运算律加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的OA→和OB→，以OA、OB为边作，则对角线OC对应的向量OC→就是a与b的和，记作a＋b，如图．空间向量的加减法减法a－b＝，其中－b是b的相反向量①结合律：(a＋b)＋c＝；②交换律：a＋b＝空间向相等向量平行四边形a＋(b＋c)b＋aa＋(－b)空间向量的运算定义(或法则)运算律量的数乘λa是一个，大小：|λa|＝，方向：当λ0时，λa与a方向；当λ0时，λa与a方向；当λ＝0时，λa＝①λa＝(λ∈R)；②λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝(λ∈R，μ∈R)；③(λμ)a＝(λ∈R，μ∈R)空间向量的数量积空间两个向量a和b的数量积是一个，等于，记作a·b①交换律：a·b＝；②分配律：a·(b＋c)＝；③λ(a·b)＝(λ∈R)向量|λ||a|相同相反aλλa＋μaλ(μa)数|a||b|cos〈a，b〉b·aa·b＋a·c(λa)·b0空间向量的运算定义(或法则)运算律与数量积有关的结论①|a|＝；②a⊥b⇔a·b＝；③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)0a·a二、共线向量基本定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得.三、单位向量对于任意一个a，把叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a．a＝λb非零向量a|a|同方向[想一想]1．(a·b)·c与c有什么关系？(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？2．a＝λb是向量a与b共线的充要条件吗？提示：由数量积的定义知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉是一个数，从而(a·b)·c与c共线，又a·(b·c)＝(b·c)·a是与a共线的一个向量，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．提示：不是．由a＝λb可得出a，b共线．而由a，b共线不一定能得到a＝λb，如当b＝0，a≠0时．[练一练]3．已知向量a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是()A．a0＝b0B．a0＝1C．a0，b0共线D．|a0|＝|b0|解析：向量a，b不一定是共线向量，因此，当a，b不共线时，a0，b0也不共线，此时a0，b0不相等，故A，C错误；向量与数量不能比较，故B错；单位向量的模都是1，因此|a0|＝|b0|.故选D.答案：D4．已知空间四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，AD→＝c，则CD→等于()A．a＋b－cB．c－a－bC．c＋a－bD．c＋a＋b解析：CD→＝CB→＋BA→＋AD→＝－AB→－BC→＋AD→＝－a－b＋c＝c－a－b.答案：B5．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a，b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由a·b＝|a||b|cosθ＝|a||b|可知cosθ＝1，由此可得a与b共线；反过来，若a，b共线，则cosθ＝±1，a·b＝±|a||b|.故a·b＝|a||b|是a，b共线的充分不必要条件．答案：A6．如图，在平行六面体ABCDEFGH中，若AG→＝xAB→－2yBC→＋3zDH→，则x＋y＋z等于__________．解析：易知AG→＝AB→＋AD→＋CG→＝AB→＋BC→＋DH→，则x＝1，y＝－12，z＝13，故x＋y＋z＝56.答案：56探究一空间向量的线性运算[典例1]如图所示，在四面体O­ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为△ABC的重心，试用a、b、c表示向量OD→和OE→.[解析]已知D为BC的中点，E为△ABC的重心，则点E在直线AD上，且满足AE∶ED＝2∶1，所以AE→＝23AD→，(1)由平行四边形法则易得：OD→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c)．(2)OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋23AD→＝OA→＋23(OD→－OA→)＝13OA→＋23×12(OB→＋OC→)＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13(a＋b＋c)．1．已知空间四边形ABCD，如图，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式：(1)AB→＋BC→＋CD→；(2)AB→＋12(BD→＋BC→)；(3)AG→－12(AB→＋AC→)．解析：(1)AB→＋BC→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.(2)AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12BC→＋12BD→＝AB→＋BM→＋MG→＝AG→.(3)AG→－12(AB→＋AC→)＝AG→－AM→＝MG→.2．如图所示，在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中．(1)化简A1F1→－EF→－BA→＋FF1→＋CD→＋F1A1→，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE→＋E1F1→＋FD→＋BB1→＋A1E1→，并在图中标出化简结果的向量．解析：(1)A1F1→－EF→－BA→＋FF1→＋CD→＋F1A1→＝AF→＋FE→＋AB→＋BB1→＋CD→＋DC→＝AE→＋AB1→＋0＝AE→＋ED1→＝AD1→.AD1→在图中所示如下：(2)DE→＋E1F1→＋FD→＋BB1→＋A1E1→＝DE→＋EF→＋FD→＋BB1→＋B1D1→＝DF→＋FD→＋BD1→＝0＋BD1→＝BD1→.BD1→在图中所示如下：探究二向量共线问题[典例2]如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE→与MN→是否共线？[解析]M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．所以MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→.又因为MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，所以12CA→＋AF→＋12FB→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→.所以CE→＝CA→＋2AF→＋FB→＝2(MA→＋AF→＋FN→)．所以CE→＝2MN→.所以CE→与MN→共线．判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，同时要充分利用空间向量运算法则．结合具体的图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b，即a与b共线．3．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．解析：BD→＝CD→－CB→＝e1－4e2又AB→＝2e1＋ke2，A，B，D三点共线，∴AB→＝λBD→，即2e1＋ke2＝λe1－4λe2.∵e1，e2是不共线向量，∴2＝λ，k＝－4λ.∴k＝－8.4.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．证明：设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.∵A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，∴A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→.∴A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c.∴EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25(a－23b－c)．又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，∴EF→＝25EB→.所以E，F，B三点共线．探究三向量的数量积及其应用空量间积向及量其的应数用——利用定义求两个向量的数量积—证明垂直—求线段长度—求夹角5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，如图所示，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，求：(1)AB→·AC→；(2)AD→·BC→；(3)(AC→＋BC→)·(GF→＋EF→)．解析：根据题意知|AB→|＝|AC→|＝|AD→|＝1，〈AB→，AC→〉＝〈AC→，AD→〉＝〈AB→，AD→〉＝π3.(1)AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉＝1×1×cosπ3＝12.(2)同理可以求出AB→·AD→＝12，AC→·AD→＝12，∴AD→·BC→＝AD→·(AC→－AB→)＝AD→·AC→－AD→·AB→＝12－12＝0.(3)∵点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，∴GF→＝12CA→＝－12AC→，EF→＝12BD→＝12(AD→－AB→)，又∵BC→＝AC→－AB→，∴(AC→＋BC→)·(GF→＋EF→)＝(2AC→－AB→)·(－12AC→＋12AD→－12AB→)＝－AC→2＋AC→·AD→－12AC→·AB→－12AB→·AD→＋12AB→2＝－1＋12－14－14＋12＝－12.6．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC.试利用空间向量的方法解决下列问题：(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)若AB1与BC1成60°角，求该三棱柱的侧棱长．解析：(1)证明：AB1→＝AB→＋BB1→，BC1→＝BB1→＋BC→.∵BB1⊥平面ABC，∴BB1→·AB→＝0，BB1→·BC→＝0.又△ABC为正三角形，∴〈AB→·BC→〉＝π－〈BA→·BC→〉＝π－π3＝2π3.∵AB1→·BC1→＝(AB→＋BB1→)·(BB1→＋BC→)＝AB→·BB1→＋AB→·BC→＋BB1→2＋BB1→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos〈AB→，BC→〉＋BB1→2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)结合(1)，知AB1→·BC1→＝|AB→|·|BC→|·cos〈AB→，BC→〉＋BB1→2＝BB1→2－1.又|AB1→|＝AB→＋BB1→2＝2＋BB1→2＝|BC1→|，∴cos〈AB1→，BC1→〉＝BB1→2－12＋BB1→2＝12，∴|BB1→|＝2，即侧棱长为2.7．如图，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求〈DM→，AO→〉．解析：(1)证明：设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，正四面体的棱长为1，则VD→＝13(a＋b＋c)，AO→＝16(b＋c－5a)，BO→＝16(a＋c－5b)，CO→＝16(a＋b－5c)，所以AO→·BO→＝136(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝136(18a·b－9|a|2)＝136(18×1×1×cos60°－9)＝0，所以AO→⊥BO→，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.所以AO，BO，CO两两垂直．(2)DM→＝DV→＋VM→＝－13(a＋b＋c)＋12c＝16(－2a－2b＋c)，所以|DM→|＝16－2a－2b＋c2＝12.又|AO→|＝16b＋c－5a2＝22，DM→·AO→＝16(－2a－2b＋c)·16(b＋c－5a)＝14，所以cos〈DM→，AO→〉＝1412×22＝22.又〈DM→，AO→〉∈(0，π)，所以〈DM→，AO→〉＝π4.证线面平行的方法[典例]已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)证明：E，F，G，H四点共面．(2)证明：BD∥平面EFGH.[证明]法一：(1)EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12BD→，又FG→＝CG→－CF→＝12CD→－12CB→＝12BD→，所以EH→＝FG→，所以四点E，F，G，H共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12BD→，所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.法二：(1)因为EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12BC→＋BD→＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面．(2)因为BD→＝BA→＋AD→＝2EA→＋2AH→＝2EH→＝2(EG→＋GH→)＝2EG→＋2GH→，又EG→，GH→不共线，所以BD→与EG→，GH→共面．又BD平面EFGH，所以BD∥平面E