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一、空间向量定义在空间中，既有又有的量，叫作空间向量．表示方法①用a，b，c表示；②用表示，如：AB→，其中叫作向量的起点，叫作向量的终点自由向量数学中所讨论的向量与向量的无关，称之为自由向量大小方向有向线段AB起点长度或模与平面向量一样，空间向量AB→或a的也叫作向量的长度或模，用或表示定义如图，两非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则叫作向量a，b的夹角，记作夹角范围规定向量垂直当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作向量平行当〈a，b〉＝时，向量a与b平行，记作大小∠AOB|AB→||a|〈a，b〉0≤〈a，b〉≤ππ2a⊥b0或πa∥b二、向量、直线、平面1．直线的方向向量设l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量．2．平面的法向量如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的叫作平面α的法向量．平面α有个法向量，平面α的所有法向量都．无数平行AB→方向向量a[疑难提示]空间向量与平面向量的关系平面向量的集合是空间向量集合的子集，空间向量内容是平面向量内容的扩展．因此，平面向量的概念在空间向量中仍然成立．如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念在空间向量中仍然成立．[想一想]1．当空间中两直线平行时，它们的方向向量有什么样的关系？其方向向量的夹角是多少？提示：由于直线与其方向向量平行，故当两直线平行时，它们的方向向量也平行，从而其夹角为0(同向时)或π(反向时)．[练一练]2．在长方体ABCDA′B′C′D′的棱所在的向量中，与向量AA′→的模相等的向量至少有()A．0个B．3个C．7个D．9个解析：与向量AA′→的模一定相等的向量有A′A→，BB′→，B′B→，CC′→，C′C→，DD′→，D′D→，共7个．答案：C3．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行C．零向量没有确定的方向D．直线的所有方向向量方向相同解析：对于A，若b为零向量，则a与c不一定共线，故A错；对于B，考虑到零向量与任意向量平行，可知B错；C正确；显然D错，故选C.答案：C4．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m________p.答案：＝探究一空间向量的概念辨析[典例1]下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是()A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等C．零向量的长度为0，两个单位向量不一定是相等向量D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同[解析]因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.[答案]C对于概念辨析题，准确熟练地掌握有关概念的差别，特别是细微之处的差别，是解决这类问题的关键．1．下列说法正确的有________．①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②0方向任意；③相等向量是指它们的起点与终点对应重合．解析：①中|a|＝|b|仅说明模相等，方向没有限定；③中相等向量指大小相等、方向相同，但起点与终点不一定重合的向量．答案：②2．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1.则以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中：(1)单位向量是哪几个？(2)模为5的向量是哪些？(3)与AB→相等的向量是哪些？(4)AA1→的相反向量是哪些？解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高对应的向量AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→为单位向量．(2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→.(3)与AB→相等的向量有A1B1→，DC→，D1C1→.(4)AA1→的相反向量为A1A→，B1B→，C1C→，D1D→.探究二求向量之间的夹角[典例2]在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，求：(1)〈EF→，A1C1→〉，〈A1C1→，FE→〉；(2)〈AB→，BC→〉，〈A1B1→，AD1→〉．[解析](1)如图所示，连接AC，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴EF→∥A1C1→，且方向相同，∴〈EF→，A1C1→〉＝0°.∴A1C1→∥FE→，且方向相反，∴〈A1C1→，FE→〉＝180°.(2)∵在正方形ABCD中，AB⊥BC，∴〈AB→，BC→〉＝90°.∵A1B1⊥平面A1ADD1，又AD1平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1.∴〈A1B1→，AD1→〉＝90°.1．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，π2]，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．2．对于非零向量a，b而言，常有以下结论：(1)当a，b同向时，夹角为0°；(2)当a，b反向时，夹角为180°；(3)当a，b垂直时，夹角为90°.3.如图，在正四面体ABCD中，〈AB→，CD→〉的大小为()A.π4B.π3C.π2D.π6解析：在正四面体ABCD中，易证AB⊥CD，所以〈AB→，CD→〉的大小为π2.答案：C4．在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝3，AA′＝1，AD＝6，求〈AC→，A′B→〉．解析：如图，连接A′C′，BC′.∵AC→＝A′C′→，∴∠BA′C′的大小就等于〈AC→，A′B→〉．由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中A′B＝AA′2＋AB2＝2，A′C′＝AB2＋AD2＝3，BC′＝AD2＋AA′2＝7.∴cos∠BA′C′＝A′C′2＋A′B2－BC′22·A′C′·A′B＝12.∴∠BA′C′＝π3.即〈AC→，A′B→〉＝π3.探究三直线的方向向量与平面的法向量直与线平的面方的向法向向量量——求直线的方向向量—求平面的法向量—直线的方向向量与平面的法向量的证明5．如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AE＝13AA1，AF＝13AB.(1)EF→可以作为哪些直线的方向向量？(2)与AA1→平行的向量有哪些？解析：(1)EF→可以作为直线EF，直线A1B，直线D1C的方向向量．(2)与AA1→平行的向量有：BB1→，CC1→，DD1→，B1B→，C1C→，D1D→，A1A→.6．已知正四面体ABCD.(1)过点A作出方向向量为BC→的空间直线；(2)过点A作出平面BCD的一个法向量．解析：(1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为BC→的空间直线．(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量AO→可作为平面BCD的一个法向量．对空间向量的概念理解不到位致误[典例]下列说法中，错误的个数为()①在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC→＝A1C1→；②若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＝－CD→，则AB→，CD→为相反向量．③AB→＝CD→的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1B．2C．3D．0[解析]①正确．②正确.AB→＝－CD→，且AB→，CD→为非零向量，所以AB→，CD→为相反向量．③错误．由AB→＝CD→，知|AB→|＝|CD→|，且AB→与CD→同向，但A与C，B与D不一定重合．[答案]A[错因与防范]解答本题易误点：对③关于向量的相等理解不到位而致误．解答与空间向量有关概念问题时，应将空间向量的有关概念和平面向量的有关概念反复对照，注意它们的区别与联系，特别是细微之处的差别，同时要注意培养空间想象的能力．