2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步水平测试课件 北师大版必修2

第二章水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是()A．45°B．135°C．135°或225°D．0°答案A解析本题主要考查直线的倾斜角．由斜率公式得直线l的斜率k＝0－－10－－1＝1，即k＝tanα＝1，又0°≤α180°，故倾斜角为45°，故选A.答案解析2．斜率为2的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝()A．4B．－7C．1D．－1答案C解析本题考查直线斜率的定义与斜率计算公式．由题意，得2＝7－5a－3＝b－5－1－3，∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1，故选C.答案解析3．直线2x－y＋4＝0在两坐标轴上的截距之和是()A．6B．4C．3D．2答案D解析本题考查直线的截距的定义．令x＝0得y＝4，即直线在y轴上的截距为4；令y＝0得x＝－2，即直线在x轴上的截距为－2.因此直线在两坐标轴上的截距之和是4＋(－2)＝2，故选D.答案解析4．过点P(3,0)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．2x＋y＋6＝0B．2x＋y－6＝0C．x＋2y－6＝0D．x－2y＋6＝0答案B解析本题考查直线的垂直关系及利用点斜式求直线的方程．∵直线x－2y＋3＝0的斜率为12，∴其垂线的斜率为－2，∴过点P(3,0)且斜率为－2的直线方程为y＝－2(x－3)，整理得2x＋y－6＝0，故选B.答案解析5．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标为()A．(3，－1)B．(－1,3)C．(－3，－1)D．(3,1)答案A解析本题考查两直线的交点坐标的求法．联立两直线的方程，得2x－y＝7，3x＋2y－7＝0，解得x＝3，y＝－1，即交点坐标为(3，－1)，故选A.答案解析6．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0间的距离是()A.213B.113C.126D.526答案C解析本题考查两平行直线间的距离公式．将直线5x＋12y＋3＝0化为10x＋24y＋6＝0，则d＝|6－5|102＋242＝126，故选C.答案解析7．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0答案D解析本题考查直线的平行关系及对称关系．∵所求直线平行于直线2x＋3y－6＝0，∴可设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，由点(1，－1)到两直线的距离相等，得|2－3＋c|22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c＝8或c＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0，故选D.答案解析8．如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为()A．(2,2,1)B.2，2，23C.2，2，13D.2，2，43答案D解析易知B(2,2,0)，B1(2,2,2)，∴E点的竖坐标z＝23×2＝43，∴E点的坐标为2，2，43.答案解析9．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A．33B．23C.3D．1答案B解析圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB|＝222－12＝23.答案解析10．若直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1答案D解析本题考查直线与圆的位置关系的判定．依题意，知圆心(0,0)到直线xa＋yb＝1的距离不大于圆的半径1，即|－1|1a2＋1b2≤1，化简得1a2＋1b2≥1，故选D.答案解析11．如果直线x－my＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝1有两个不同的交点，则()A．m≥34B．m34C．m34D．m≤34答案B解析本题考查直线与圆的位置关系．圆心为(0,1)，半径r＝1，圆与直线有两个不同的交点，则圆心到直线的距离d＝|－m＋2|1＋m21，得m34，故选B.答案解析12．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程是()A．(x＋3)2＋(y－2)2＝12B．(x－3)2＋(y＋2)2＝12C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2答案C答案解析本题考查圆的性质．圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为2，点(1,0)关于直线2x－y＋3＝0的对称点为(－3,2)，即所求圆的圆心为(－3,2)，半径为2，故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝2，故选C.解析第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为________．答案(0，－1)解析本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k2＋22－4k2＝124－3k2＝1，所以k＝0，所以圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案解析14．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝4解析本题考查直线与圆的位置关系、圆的方程等基础知识．依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中b0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以24b2－b2＝23，b0，解得b＝1，故所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案解析15．已知集合A＝{(x，y)|(x＋2)2＋(y－2)2＝4}，B＝{(x，y)|y＝kx＋3，k∈R}．若A∩B是单元素集，则k＝________.答案－34解析本题考查直线与圆相切的性质．由A∩B是单元素集，知直线y＝kx＋3与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4相切，所以|－2k－2＋3|k2＋1＝2，解得k＝－34.答案解析16．已知两点M(3，－3)，N(－3，－5)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是________．答案(－∞，－2]∪32，＋∞答案解析本题考查直线斜率的综合应用．如图所示，解析kPM＝1－－31－3＝－2，kPN＝1－－51－－3＝32.过点P且与x轴垂直的直线PA与线段MN相交，但此时直线l的斜率不存在．直线PN绕点P逆时针旋转到PA处的过程中，l的斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l的斜率的范围是k≥32；直线l由PA(不包括PA)绕点P逆时针旋转到PM处的过程中，斜率为负且逐渐增大，此时l的斜率范围是k≤－2.综上，k≤－2或k≥32.解析三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD的顶点为A(2，2＋22)，B(－2,2)，C(0,2－22)，D(4,2)，求证：四边形ABCD为矩形．证明由直线的斜率公式计算得kAB＝22，kBC＝－2，kCD＝22，kAD＝－2，∴kAB＝kCD，kBC＝kAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD为平行四边形．又kAB·kBC＝22×(－2)＝－1，∴AB⊥BC，∴四边形ABCD为矩形．答案18．(本小题满分12分)求过点P(2,3)，且满足下列条件的直线方程：(1)倾斜角等于直线x－3y＋4＝0的倾斜角的二倍；(2)在两坐标轴上的截距相等．参考公式：tan2α＝2tanα1－tan2α解(1)由题意，设已知直线的倾斜角为α，可知tanα＝13，当所求直线的倾斜角为已知直线的倾斜角的二倍时，答案k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34，∴所求直线的方程为y－3＝34(x－2)，整理得3x－4y＋6＝0.(2)当直线过原点时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点P(2,3)，代入得k＝32，∴此时直线的方程为y＝32x，整理得3x－2y＝0.当直线不过原点时，可设直线的方程为xm＋ym＝1，又直线过点P(2,3)，代入得m＝5，∴此时直线的方程为x5＋y5＝1，整理得x＋y－5＝0.∴所求直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.答案19．(本小题满分12分)已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0截得的弦长为45，求直线l的方程．解圆的方程可化为x2＋(y＋2)2＝25.由题可知直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.∴圆心(0，－2)到直线l的距离d＝|3k－1|1＋k2，∵弦长为45，半径r＝5，∴d2＋4522＝r2，整理得2k2－3k－2＝0，∴k＝2或－12，∴直线l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.答案20．(本小题满分12分)设O点为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上的P，Q两点关于直线x＋my＋4＝0对称，且OP⊥OQ.(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程．解(1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，其表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆，∵点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，∴直线x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，代入直线方程得m＝－1.答案(2)由(1)知直线PQ与直线y＝x＋4垂直，且直线OP，OQ的斜率存在．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝－x＋b，将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2×(b2－6b＋1)0，得2－32b2＋32.由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(4－b)，x1x2＝b2－6b＋12，y1y2＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2－6b＋12＋4b，∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋1＋4b＝0，解得b＝1∈(2－32，2＋32)，∴直线PQ的方程为y＝－x＋1.答案21．(本小题满分12分)△ABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B，∠C平分线的方程分别为x－2y＝0和x＋y－1＝0，求BC所在直线的方程．解该题求直线方程的条件不明显，如果能联想到初中平面几何有关角平分线的知识，就可以发现点A关于∠B，∠C平分线的对称点都在BC所在直线上，所以只要求出这两个对称点，利用两点式即可求出BC所在直线的方程．答案过点A与直线x－2y＝0垂直的直线的斜率为－2，所以其方程为y－4＝－2(x－1)，将它和x－2y＝0联立方程组可求得垂足的坐标为125，65，该垂足是点A与点A关于直线x－2y＝0的对称点A′的中点，所以可得点A′的坐标195，－85.答案同理可求得点A关于直线x＋y－1＝0的对称点A″的坐标为(－3,0)．由于点A′195，－85，点A″(－3,0)均在BC所在的直线上，∴直线BC的方程为y－0－85－0＝x＋3195＋3，即4x＋17y＋12＝0，∴BC所在直线的方程为4x＋17y＋12＝0.答案22．(本小题满分12分)在△ABC中，已知点A(4，－1)、点C(8,3)，且AB的中点为M(3,2)．(1)求边BC所在的直线方程；(2)求△ABC的外接圆的方程．解(1)设AC的中点为N，利用中点坐标公式得xN＝4＋82＝6，yN＝－1＋32＝1，∴N(6,1)．答案∵BC∥MN，∴kBC＝kMN＝2－13－6＝－13.故BC