2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 3 空间直角坐标系 3.3 空间两点间的距离公

预习课本P92～94，思考并完成以下问题(1)决定空间两点间距离的主要因素是什么？空间两点间的距离与两点的顺序有关吗？(2)平面内两点间的距离与空间两点间的距离有何异同之处？3．3空间两点间的距离公式一、预习教材·问题导入1．长方体的对角线如图，连接长方体两个顶点_________称为长方体的对角线．当长方体的长、宽、高分别为a，b，c时，对角线的长d＝.2．空间两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝.A，C′的线段AC′a2＋b2＋c2x1－x22＋y1－y22＋z1－z22二、归纳总结·核心必记1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)长方体的对角线长度都相等．()(2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．()(3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．()√××三、基本技能·素养培优2．已知点A(2,3,5)，B(－2,1,3)，则|AB|等于()A．6B．26C．2D．223．已知长方体ABCD­A1B1C1D1的对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为()A．9B．92C．4D．2答案：B答案：D4．点P(－1,1,1)到原点的距离是________．解析：|OP|＝－1－02＋1－02＋1－02＝3.答案：3[典例]长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点，建立如图所示空间直角坐标系．(1)写出点D，M，N的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．考点一求空间中两点间的距离[解](1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)，又D是原点，则D(0,0,0)．(2)|MD|＝1－02＋2－02＋3－02＝14，|MN|＝1－22＋2－12＋3－02＝11.求空间两点间距离的关键及方法(1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．[类题通法][针对训练]已知△ABC的三顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求△ABC中最短边的边长．解：由空间两点间距离公式得：|AB|＝1－22＋5－32＋2－42＝3，|BC|＝2－32＋3－12＋4－52＝6，|AC|＝1－32＋5－12＋2－52＝29.∴△ABC中最短边是BC，其长度为6.[典例]如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O­xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．考点二两点间的距离公式的应用[解]依题意P12，12，12，设点Q(0,1，z)，则|PQ|＝122＋12－12＋12－z2＝z－122＋12，所以当z＝12时，|PQ|min＝22，此时Q0，1，12，Q恰为CD的中点．空间两点间的距离公式在几何中的应用利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可．[类题通法][针对训练]在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．解：∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，∴设点M(a,2a,0)，则|MP|＝a＋32＋2a－42＋52＝5a2－10a＋50＝5a－12＋45，∴当a＝1时，|MP|取最小值35，此时M(1,2,0)，∴M坐标为(1,2,0)时|PM|最小，最小值为35.