2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第一课时

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系[学习目标]1.理解直线和圆的三种位置关系．2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.课前自主学习【主干自填】直线与圆的位置关系及判断【即时小测】1．思考下列问题(1)我们怎样判断直线与圆的位置关系？提示：①利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，即直线与圆相交⇔dr；直线与圆相切⇔d＝r；直线与圆相离⇔dr.②联立直线与圆的方程，化成一元二次方程利用判别式Δ判断，当Δ0相交；Δ＝0相切；Δ0相离．提示(2)圆x2＋y2＝9与直线3x＋4y－5＝0的位置关系怎样？提示：相交圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝|5|5＝13＝r.∴直线与圆相交．提示2．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m0)相切，则m的值为()A．0或2B．2C.2D．无解提示：B由圆心到直线的距离d＝|－m|2＝m，解得m＝2.提示3．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1B.2C.3D．2提示：D直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.提示课堂互动探究例1已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点．[解]解法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ0时，即m0或m－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ0时，即－43m0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．答案解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.当d2时，即m0或m－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d2时，即－43m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．答案类题通法直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[变式训练1]当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？解解法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的方程并化简得(1＋m2)x2－2(m＋2)x＋1＝0.Δ＝4(4m＋3)．∴当Δ0即m－34时，直线与圆相交；当Δ＝0即m＝－34时，直线与圆相切；当Δ0即m－34时，直线与圆相离．答案解法二：将圆的方程化为(x－2)2＋y2＝4.得圆心C(2,0)，半径r＝2，圆心C到直线mx－y－1＝0的距离d＝|2m－1|1＋m2.当d2，即2m－121＋m24，m－34时，直线与圆相交；当d＝2，即m＝－34时，直线与圆相切；当d2，即m－34时，直线与圆相离.答案例2过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．[解]因为(4－3)2＋(－3－1)2＝171，所以点A在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－158.所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.答案②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.答案类题通法求圆切线的方法(1)过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．(2)一般地，圆的切线问题，若已知切点，则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式；若不已知切点，则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式．[变式训练2]求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴|－k－7|k2＋1＝5.解得k＝43或k＝－34.∴所求切线方程为y＋7＝43(x－1)或y＋7＝－34(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.答案例3求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．[解]解法一：由3x＋y－6＝0，x2＋y2－2y－4＝0，得交点A(1,3)，B(2,0)，∴弦AB的长为|AB|＝2－12＋0－32＝10.答案解法二：由3x＋y－6＝0，x2＋y2－2y－4＝0，消去y得x2－3x＋2＝0.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.∴|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝x2－x12＋[－3x2＋6－－3x1＋6]2＝1＋32x2－x12＝10[x1＋x22－4x1x2]＝10×32－4×2＝10，即弦AB的长为10.答案类题通法求弦长的常用方法(1)代数法①将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间距离公式求弦长．②设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所得方程两根为x1，x2，则弦长d＝1＋k2|x2－x1|.(2)几何法设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有l22＋d2＝r2，故l＝2r2－d2，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，数形结合利用勾股定理得到．[变式训练3]直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．46答案C解析依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝5，圆心到直线的距离d＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r2－d2＝2，故弦长为4.答案解析易错点⊳忽略斜率不存在的切线[典例]求过点P(6，－8)与圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0相切的直线方程．[错解]将圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝25，∴圆心的坐标为C(1,2)，半径r＝5.易知点P(6，－8)在圆C的外部，设切线的方程为y＋8＝k(x－6)，即kx－y－6k－8＝0.由圆心到切线的距离等于半径，得|k－2－6k－8|k2＋1＝5，解得k＝－34，∴切线的方程为－34x－y－6×－34－8＝0，即3x＋4y＋14＝0.[错因分析]过圆外一点作圆的切线有两条，错解中只考虑了斜率存在的情况，忽略了斜率不存在时的切线，造成漏解．[正解]将圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝25，∴圆心的坐标为C(1,2)，半径r＝5.易知点P(6，－8)在圆C的外部，显然直线x＝6是其中一条切线，设另一条切线的方程为y＋8＝k(x－6)，即kx－y－6k－8＝0.由圆心到切线的距离等于半径，得|k－2－6k－8|k2＋1＝5，解得k＝－34.∴切线的方程为－34x－y－6×－34－8＝0，即3x＋4y＋14＝0.综上可知，切线的方程为x＝6和3x＋4y＋14＝0.答案课堂小结1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·x1＋x22－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.随堂巩固训练1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A．过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心答案D解析圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝|3×1＋4×－1＋12|32＋42＝115r.答案解析2．若圆心在x轴上、半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5答案D解析设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为5，故有|x0|12＋22＝5，∴|x0|＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D.答案解析3．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0D．x－y－3＝0答案D解析圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选D.答案解析4．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案22解析最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r2－d2＝222－22＝22.答案解析